Приложение

Электрические (радиотехнические) цепи делятся на линейные и нелинейные. Линейная электрическая цепь состоит из линейных элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности).

Для линейного резистора выполняется закон Ома, то есть ток пропорционален приложенному напряжению (i ~ u, вольтамперная характеристика (ВАХ) i(u) - прямая линия). Для линейного конденсатора заряд пропорционален приложенному напряжению (q ~ u, q(u) - прямая линия). Для линейной индуктивности магнитный поток пропорционален току (Ф ~ i, (i) - прямая линия).

Для нелинейных элементов зависимости i(u), q(u), (i) не являются прямыми. Электронные компоненты радиотехнических схем (диоды. транзисторы) всегда нелинейны.

Если в цепи есть нелинейные элементы, то и цепь нелинейна.

Влияние нелинейности цепи на спектр сигнала.

рис. 1

Если цепь нелинейна, то при подаче на нее синусоидального напряжения ток в цепи не будет синусоидальным (рис. 1), то есть поданный сигнал искажается. Искажения сигнала, обусловленные нелинейностью цепи, называются нелинейными искажениями.

Поскольку ток — периодическая функция времени с периодом T=1/f, его можно представить в виде ряда Фурье:

где =2f (1)

Таким образом, нелинейность цепи приводит к появлению в спектре сигнала спектральных составляющих с частотами kf (гармоник сигнала). Теоретически спектр тока бесконечно широк, на практике, учитывая, что амплитуды I_mk убывают с ростом номера гармоники k, ширину спектра можно ограничить величиной k_max, достаточной для описания i(t) с требуемой точностью. Рассмотрим этот процесс подробнее.

В отсутствие сигнала к цепи в общем случае может быть приложено постоянное напряжение U₀, при этом в цепи будет постоянный ток I₀. При подаче сигнала к постоянным составляющим напряжения и тока добавляются переменные.

В общем случае нелинейная ВАХ i(u) может быть аппроксимирована полиномом степени n: i(u)= I₀+a₁u+ a₂u²+ . . . + a_nuⁿ (2),

где u = U – U₀ – переменная составляющая напряжения. Выражение (2) представляет собой разложение зависимости i(u) в ряд Тейлора. Количество членов ряда (2), необходимых для описания ВАХ с достаточной точностью, зависит от амплитуды переменной составляющей напряжения. Если амплитуда переменной составляющей мала по сравнению с U₀ , для описания нелинейной ВАХ достаточно выражение (2) представить в виде полинома второй степени.

i(u)= I₀+a₁u+ a₂u² (3)

Для простейшего сигнала u(t)=U_mcos(t), подставив u(t) в (3), получаем: i(t)= I₀+a₁U_mcos(t)+ a₂U_m²cos²(t). Учитывая, что Cos²=0.5(1+cos2), получим

i(t)= I₀+a₁U_mcos(t)+ 0.5a₂U_m²(1+cos(2t)) = (I₀+ 0.5a₂U_m²)+a₁U_mcos(t)+ 0.5a₂U_m²cos(2t).

Вывод. Наличие нелинейности (3) приводит к изменению постоянной составляющей тока ("выпрямление") и появлению второй гармоники сигнала 2.

Аналогично можно показать, что в общем случае нелинейной ВАХ (2) в спектре тока появятся гармоники k, где k= 2 . . n.

На практике сигнал u(t) несинусоидален, он может быть представлен в виде суммы большого количества гармонических составляющих с разными частотами. Рассмотрим простейший случай сложного сигнала.

u(t)= U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t)

Для нелинейной ВАХ (3) получаем:

i(t)= I₀+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ a₂(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))²=

= I₀+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ a₂(U_m1²cos²(₁t)+ U_m2²cos²(₂t)+2 U_m1U_m2cos(₁t)cos(₂t)).

Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

Cos²=0.5(1+cos2), CosCos=0.5(Cos(+)+Cos( - )).

Получим:

i(t)= (I₀+ 0.5a₂(U_m1²+U_m2²))+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ 0.5a₂(U_m1²cos(2₁t)+ U_m2²cos(2₂t))+ +a₂ U_m1U_m2(cos(₁+₂)t+cos(₁ - ₂)t). (4)

Видим, что в этом случае кроме гармоник сигнала 2_i в спектре тока присутствуют комбинационные частоты ₁₂. Амплитуда комбинационных колебаний пропорциональна произведению амплитуд составляющих исходного сигнала. Можно показать, что для полинома степени n в спектре тока будем иметь набор частот, выражающихся общей формулой

k₁i₂, где k=0 . . n, i=0 . . n, k+in.

1. Умножение частоты. Он состоит в получении из гармонического колебания с частотой f другого гармонического колебания, с частотой пf, где п — целое положительное число. Необходимость умножения частоты возникает в тех случаях, когда непосредственное генерирование колебаний требуемой частоты почему-либо затруднено.

В умножителях частоты используется нелинейный элемент, в спектре тока которого присутствуют необходимые спектральные составляющие. Для получения колебаний требуемой частоты достаточно выделить с помощью полосового фильтра нужную гармонику.

Обычно в режиме умножения частоты к нелинейному элементу подводится гармоническое напряжение со значительной амплитудой, для которой записанные выше формулы дают лишь качественный результат.

Необходимые количественные соотношения получим с помощью рис.2, на котором изображена вольт-амперная характеристика i=f(u) нелинейного элемента. Рабочую точку нелинейного элемента выбирают в нижней части характеристики, где I₀=0.

При большой амплитуде U_m подводимого к нелинейному элементу напряжения можно воспользоваться кусочно-линейной аппроксимацией его вольт-амперной характеристики. При этом аппроксимирующая функция, график которой показан на рис.2 штриховой линией:

Для построения временной диаграммы i(t) воспользуемся графическим методом. Ради простоты выражений, приводимых ниже, представим напряжение функцией времени u(t)=U_o+U_mcos2ft. В результате построения получаем, что ток i представляет собой периодическую последовательность импульсов.

В соответствии с рис.2 имеем

Произведем следующие преобразования:

Обозначим , тогда с учетом периодического процесса получим:

Амплитуду импульса тока найдем, приняв cos2ft=1:

Рис.2.Нелинейный режим работы усилительного прибора

Из рис.2 следует, что длительность импульса тока определяется интервалом времени, в течение которого напряжение, воздействующее на нелинейный элемент, u(t)U₁. При u(t)<U₁ ток через элемент не проходит. Такой режим работы называют режимом с отсечкой, а введенный выше параметр  — углом отсечки. Угол  равен половине той части периода входного колебания, в течение которой через нелинейный элемент протекает ток.

Поскольку ток — периодическая функция времени с периодом T=1/f, его можно представить в виде ряда Фурье (=2f):

Коэффициенты I_mk этого ряда являются амплитудами гармоник. Очевидно, что: амплитуды гармоник тока пропорциональны амплитуде I_т импульса тока. I_mk=_m()I_m, m=0, 1, 2, . . . . Коэффициенты пропорциональности (коэффициенты Берга) _m() зависят от значения угла отсечки . Графики, иллюстрирующие эту зависимость, приведены на рис.3.

Если угол отсечки =0, то нелинейный элемент закрыт на протяжении всего периода Т гармонического напряжения u(t), так что i(t)=0. При =180° отсечка отсутствует и форма тока практически совпадает с формой напряжения. В результате ток i(t) содержит только постоянную составляющую I₀ и первую гармонику.

Рис.3

Амплитуды всех остальных гармоник равны нулю (на рис.3 коэффициенты пропорциональности _m()0 при 180° для т=2, 3,...

Графики, приведенные на рис.3, позволяют выбирать оптимальное значение угла отсечки для получения наибольшей амплитуды нужной гармоники тока. Так, при удвоении частоты желательно обеспечить угол отсечки =60°, а при утроении — =40°.

Электрическая схема умножителя частоты (рис.4). В качестве нелинейного элемента здесь используется биполярный транзистор VT, нелинейной является cквозная характеристика i_к=f(u_БЭ) зависимости тока коллектора i_к от напряжения между базой и эмиттером u_БЭ. Гармоническое колебание u(t) с частотой f, на которую настроен входной колебательный контур L1C1, приложено к переходу база — эмиттер и управляет током коллектора в выходной цепи. Делитель напряжения R1,R2 обеспечивает требуемое положение рабочей точки на характеристике i_к=f(u_БЭ). Контур L2C2 в выходной цепи настроен на частоту нужной гармоники nf тока коллектора i_к(t).

Рис.4 Умножитель частоты

Если добротность контура достаточно велика, то напряжение u_вых(t) пропорционально току этой гармоники и является гармоническим колебанием с частотой nf. Остальные гармоники тока коллектора отфильтровываются, так как сопротивление контура на их частотах практически равно нулю.

Обратим внимание: с увеличением коэффициента кратности п максимальная амплитуда п -й гармоники тока уменьшается. Поэтому изображенную на рис.3 схему используют для умножения частоты не более чем в 4 раза. Для получения больших значении коэффициента кратности подобные умножители включают друг за другом последовательно.