Двухфакторный дисперсионный анализ.

Рассмотрим влияние 2х факторов А и В. Результаты занесём в таблицу.

	А1	А2	…	Аk	Итоги
B1			…..
B2			…..
….	…...	……	……	……	……
Bn			……
			……

Рассеяния величин не зависит от фактора А, а зависит только от фактора случайности и от фактора А. Напротив рассеяния зависит от В, не зависит от А.

Т.к. здесь величины нумеруются, то фактор случайности уменьшается в n и в k раз соответственно, поэтому

Аналогичным образом получается соотношение, в котором функционирует дисперсия фактора А. После того, как будет получено соотношение, с помощью которого даётся оценка фактора случайности , мы получаем 3 величины: , , .

После этого проверяется значимость величин и от для этого используется критерий Фишера.

Дисперсионный анализ позволяет установить не только значимость факторов, но и установить их взаимодействие.

Многофакторный дисперсионный анализ.

Если на результат измерения влияет несколько факторов, то для установления значимости этих факторов используется многофакторный дисперсионный анализ. Проводится факторный эксперимент. Возможны различные виды экспериментов. Эксперимент, в котором встречают все возможные сочетания уровней изучаемых факторов - называется полный факторный эксперимент.

Эксперимент, в котором некоторые сочетания уровней пропущены, называют Дробный факторный эксперимент.

Пусть проводится двухфакторный анализ, число уровней для каждого фактора k. Взаимодействие факторов не изучается. Для ПФЭ число измерений равно .

Необходимо присоединить к факторам А и В третий фактор С не меняя полное число испытаний. Фактор С так же исследуется на k уровнях в результате получается ДФЕ. Эксперимент надо планировать, так чтобы можно было оценить эффекты действия всех трёх факторов.

В таблицу эксперимента отдельному сочетанию факторов А и В должен соответствовать какой-либо уровень С, т.к. обработка результатов производится по строкам и столбцам, то в каждой строке (столбце) необходимо разместить все k уровни фактора С, тогда на всей строке или столбце фактор С не скажется.

Возникает задача как расположить уровни С, чтобы в каждой строке и столбце встречались все уровни С.

	A1	A2	A3	Ak
B1
B2
B3
…
Bk

Поучили таблицу плана эксперимента- Латинский квадрат.

Такие таблицы для разного числа уровней и факторов приводятся в таблицах.

К последующим факторам не меняя общее число измерений можно добавить 4-ый

Ливерко

Таблица эксперимента принимает вид квадрата второго порядка.

Можно показать, что при k уровнях число изучаемых факторов можно довести до k. Исключение для k=6.

Зависимость между случайной величиной (корреляция)

Предположим, производится одновременно наблюдение 2-х величин Х и Y. Зависимость между большим числом этих величин можно изучать, объединяя их попарно. То связь между этими величинами не будет строго функциональной (связь между стороной квадрата a и площадью S, ).

Связь между зависимыми случайными величинами называется стохастической. Изменение случайной величины Y, вызываемая изменением случайной величины Х, разбивают на 2 компоненты - стохастическую и случайную. Соотношение между ними определяет силу связи. Важнейшим показателем стохастической связи является коэффициент корреляции. Раньше нами было показано, что дисперсия суммы 2-х независимых величин = сумме дисперсий. Если случайные величины являются зависимыми, то это равенство выполняться не будет. Поэтому:D(X+Y)-(DX+DY)-будет характеризовать степень связи между случайными величинами. Можно показать выполнение равенства: D(X+Y)-(DX+DY)=2M[(X-MX)*(Y-MY)]-эта величина называется корреляционным моментом. На практике чаще всего используется безразмерная величина:

-коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Для независимых величин p=0;

2. p не изменяется, если к случайной величине + не случайную величину или умножить на не случайную величину;

3) при умножении на -1, коэффициент так же умножиться на -1.

Можно показать, что ρ находится в пределах [-1,1].

При положительных ρ с ростом Х происходит и рост Y(с точность до случайной переменной).

Если ρ отрицательное, то чем больше Х, тем меньше Y.

p =+-1 соответствует функциональной линейной зависимости между Х и Y.

Отсюда следует, что p-есть показатель того , на сколько связь между случайными величинами близка к строго линейной зависимости. Для p близких к 0 значения получаются как при слабой зависимости Х и Y, так и при большой криволинейной связи.

На практике чаще всего используют выборочный коэффициент корреляции, который вычисляется с помощью формулы:

P так же случайная величина, имеющая специальный закон распределения

р-распределение.

Имеются таблицы квантилей этого распределения. Используя таблицы, можно установить - является ли полученное значение коэффициента корреляции значимым.

Если выполняется условие , то это свидетельствует о том, что коэффициент корреляции значимо отличается от 0 и можно считать доказанной существования связи корреляции между величинами Х и Y.