Геометрические приложения определенных интегралов.
Если на отрезке функция , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми (рис. 9), равна
Если на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции
Рисунок 9.
В общем случае, когда функция меняет знак на отрезке (рис. 10), площадь, ограниченная кривой , осью и прямыми может быть найдена как сумма площадей фигур, лежащих выше и ниже оси . Иначе
Рисунок 10.
Длина дуги кривой , ограниченной точками с абсциссами , вычисляется по формуле
Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми . Объём тела вращения
Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме
,
где и . Площадь криволинейной трапеции в этом случае равна
а длина дуги
Пусть кривая задана уравнением в полярной системе координат
,
где - непрерывная функция, определённая при (рис. 11). Площадь сектора, ограниченного заданной кривой и лучами , , равна
Рисунок 11.
Длина дуги кривой, определённой в полярной системе координат уравнением , вычисляется по формуле
Вычисление плоских фигур.
Функции многих переменных: определение. Область определения и область значения
Предел функции в точке, повторные пределы. Непрерывность функции в точке
Частные производные. Полный дифференциал.
Производная сложной функции.
Производная по направлению.
Градиент.
Частные производные высших порядков.
Экстремум функции многих переменных (при п=2) условный экстремум.
Определение двойного интеграла и его свойства.
Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.