Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,
,
и, аналогично,
, .
Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.
Экстремум функции многих переменных (при п=2) условный экстремум.
Определение двойного интеграла и его свойства.
В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.
Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .
Геометрический смысл двойного интеграла
Выражение двойного интеграла через полярные координаты
Переход из прямоугольных координат в полярные.
Переход из прямоугольных координат в полярные.
В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
.
Здесь является элементом площади в полярных координатах.
СВОЙСТВО ДВОЙНЫХ ИТЕГРАЛОВ
1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем
Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом
3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то
Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.
Сведение двойного интеграла к повторному
Область D называется правильной вдоль оси OY, если прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D в двух точках.
Пусть область правильная вдоль оси OY, нижние точки границы лежат на линии с уравнением у = φ (х), верхние — на линии с уравнением у = ψ(х). Тогда двойной интеграл можно привести к повторному
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу.
Если область ограничена лучами и , где и кривыми и , где , т.е. область правильная, то: