Методы идентификации статических характеристик объектов управления Идентификация статических характеристик одновходовых объектов
Статические характеристики – это наборы установившихся значений (наборы стационарных состояний).
Для экспериментально полученных табличных статических характеристик определяют уравнение регрессии:
y=f(x). (1)
Часто уравнение регрессии задают в виде полинома:
y=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2)
,где xилиy– могут быть также элементарными функциями от табличных значений входа и выхода (ex,lg(x),ln(x), 1/x)
Задача идентификации: задавшись видом уравнения регрессии y=f(x), определить его неизвестные коэффициенты из условия, что заданная уравнением кривая будет с достаточной точностью описывать экспериментальную характеристику.
В качестве критерия соответствия при решении данной задачи берут критерий вида:
min(Fai),
(3)
, где yэj– экспериментальное значение;
yрj– расчётное значение.
Для нахождения коэффициентов aiсоставляют уравнения:
(4)
Таким образом, получается система уравнений, решая которую можно определить ai.
В конкретном случае, для выбора вида полинома используют графическое представление экспериментальной выборки, а также – априорные косвенные данные. Однако универсальных методик здесь нет.
Проиллюстрируем применение метода на примере для случая, когда уравнение регрессии выбрано в виде квадратного полинома: yр=a0+a1x+a2x2.
Минимизируемая функция (критерий):
Запишем систему уравнений для нахождения ai:
(5)
Систему (5) можно значительно упростить, если приравнять 0 суммы нечётных степеней х. Это будет справедливо с достаточно высокой точностью, например, если ряд значений xjимеет постоянный шаг и точка х=0 находится в середине интервала значений, которые принимает х. Тогда получим систему:
(6)
Из системы (6) получим искомые выражения для коэффициентов уравнения регрессии ai:
;
Идентификация статических характеристик многовходовых объектов
Многовходовый объект можно представить в виде "чёрного ящика".
Требуется определить выход, как функцию значений входов:
y=f(x1,x2,...xn).
Возникает вопрос: "Как создать экспериментальную выборку? "
Для таких объектов существует понятие полного факторного эксперимента.
В терминах данного метода каждый вход иначе называют "фактором", а значение выхода – "откликом".
Определяют диапазон изменений (колебаний) для каждого фактора: [xi,min,xi,max] (который также определяется условиями эксплуатации объекта).
Если взять за начало отсчёта по каждому из факторов середину интервала варьирования, то можно говорить, что фактор на границах интервала варьирования может принимать два значения +Δxiи -Δxi.
Значения отклика при значениях фактора +Δxи -Δxявляются наиболее информативными, то есть наиболее значимыми. Так как мы здесь рассматриваем линейные системы, то есть уравнение у=f(x) – полином невысокого порядка, то данную задачу решают в относительных величинах к значению фактора.
Вводят "относительные значения" уровней факторов:
(1)
Все возможные комбинации в данном случае, когда каждый фактор может принимать одно из двух значений: +1 или -1 и составляют план полного факторного эксперимента.
Уравнение регрессии объекта с тремя входами, например, ищут в виде:
y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x1x2+a5x1x3+a6x2x3 (2)
Тогда таблица полного факторного эксперимента будет иметь вид:
-
x0
x1
x2
x3
yэi
+
-
-
-
yэ1
+
-
-
+
yэ2
+
-
+
-
yэ3
+
-
+
+
yэ4
+
+
-
-
yэ5
+
+
-
+
yэ6
+
+
+
-
yэ7
+
+
+
+
yэ8
где х0– фиктивный фактор
Критерий оценки:
,F(ai)->min
Для минимизации запишем уравнения:
.
Такой метод называется прямым методом
минимизации.
(3)
Для i=0..3 из (3) получим:
, (4)
для других коэффициентов можно аналогично получить выражения, взяв соответствующие частные производные от (3).