Контрольная работа по теме: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных»

Задание №1. Используя метод сеток, найдите решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате АВСД с вершинами А(0;0), В(0;1), С(1;1), Д(1;0); шаги сетки по осям ОХ и ОУ читать равными h=0.2, при следующих граничных условиях:

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3

Задание №2. Методом сеток найдите решения задачи: удовлетворяющее условиям:

при

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3
с шагом	с шагом	с шагом

Тестовые задания по теме: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных»

1. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?

а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если выполняются условия устойчивости и согласованности.

б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий.

в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области.

2. Дайте определение. Свойством согласованности (аппроксимацией) обладает конечно-разностная схема на решение дифференциальных уравнений в частных производных…

а) Аппроксимирующая уравнение в частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю.

б) Если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.

в) Обеспечивающая точное выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.

3. Какая конечно-разностная схема обладает свойством устойчивости?

а) Если отдельная погрешность округления не растет, то разностная схема называется устойчивой.

б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится единице, то разностная схема называется устойчивой.

в) Если полная погрешность округления не растет, то разностная схема называется устойчивой.

4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?

а) Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.

б) Процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.

в) Магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.

5. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных?

а) Полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Лебега от данного полинома. В таком случае конечно-разностная схемы является абсолютно устойчивой.

б) Строится система равноотстоящих точек , . Вычисления значений u(x_i, t_n), являющихся решением уравнения в частных производных, проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение , на втором этапе – .

в) Основой метода конечных разностей является дискретизация – замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.

6. Какое из представленных уравнений является уравнением теплопроводности?

а)

б)

в)

7. Уравнение вида является уравнением:

а) 1-го порядка

б) 2-го порядка

в) 3-го порядка

7. Задачу, у которой имеются начальные и конечные условия называют:

а) стационарной задачей

б) смешанной краевой задачей

в) задачей Коши