МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

С.А. Скляднев, С.В. Писарева

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З

(Множества. Метод математической индукции)

Учебное пособие для вузов

Воронеж

2011 г.

Утверждено научно-методическим советом факультета компьютерных наук

хх января 2012 г. протокол № хх

Рецензент доктор физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного университета А.Д. Баев

Учебное пособие подготовлено на кафедре цифровых технологий факультета компьютерных наук Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного отделения факультета компьютерных наук

Для направлений : 230400 – Информационные системы и технологии:

010200 – Математика. Компьютерные науки.

Содержание

Введение	4
1.1 Способы задания множеств	5
1.2 Операции над множествами	6
1.3 Эквивалентные множества	8
1.4 Свойства действительных чисел	11
1.5 Числовые промежутки	12
1.6 Точные грани числовых множеств	13
1.7 Абсолютная величина вещественного числа	14
2. Метод математической индукции	18
3. Варианты заданий, предлагавшихся на первой рубежной аттестации студентам 1 курса ФКН ВГУ в предыдущие годы	23
Литература	28

Введение

Настоящее учебное пособие содержит два первых модуля курса математического анализа, включенного в ООП для направлений для направления «230400 – Информационные системы и технологии» на факультете компьютерных наук Воронежского государственного университета.

Оно будет полезным при проведении практических занятий и в процессе организации самостоятельной работы студентов.

Пособие содержит максимальное доступное изложение сложных вопросов. Пособие содержит разбор решений основных типовых задач по теории множеств и по методу математической индукции. Приводятся задачи для самостоятельного решения.

1. Множества

   1. Способы задания множеств

Множества, как правило, обозначают прописными буквами некоторого алфавита - A, B, C, N. R… Элементы множества обычно обозначают строчными буквами - a, p, e, x, t… Знак обозначает принадлежность; читается «элемент x принадлежит множеству M»; читается «элемент x не принадлежит множеству M».

Буквами N, Z, Q, R обозначают, как правило, множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно.

Перечислим некоторые, наиболее употребляемые, способы задания множеств:

а) множество может быть задано путем перечисления всех его элементов; например, множество всех цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; множество лиц, присутствующих в комнате {Коля, Володя, Ира, Лена, Оля}; множество всех трехзначных чисел в двоичной системе счисления {100, 101, 110, 111} и т.п.

b) Множество M может быть задано путем формулирования некоторого характеристического свойства P(x), которым обладают элементы множества (и только они одни): или .

Например, множество Е корней уравнения , где можно составить следующим образом: Е={x| }.

Множество А точек отрезка [0, 1] задается так: A={x: 0 }.

c) Множество M может быть задано путем определения его элементов по уже известному множеству T.

Например, считая заданным множество целых чисел , определим множество степеней числа 2: .

Пустым называется множество, не содержащее никаких элементов. Оно обозначается символом и содержится в любом множестве.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A содержится в множестве B (пишут ) или, что то же, множество B содержит множество A (пишут ). В этих случаях говорят, что множество A является подмножеством множества B.