Гидродинамика (импульсообмен)

Основная задача гидродинамики состоит в определении полей скорости, давления, потока импульса (тензора напряжений), а также коэффициентов импульсоотдачи и коэффициентов трения на основе совместного решения уравнений движения и неразрывности. В начале, будут рассмотрены простейшие случаи, позволяющие получить строгое решение вышеуказанных дифференциальных уравнений. Для более сложных случаев будет использован метод физического моделирования. В основном рассматриваются ньютоновские жидкости.

Гидростатика.

Гидростатику можно рассматривать в качестве частного случая гидродинамики покоящейся среды. В этом случае задача упрощается - требуется отыскать лишь поле давления, т.к. для покоящейся среды скорость, поток импульса (тензор напряжений) и коэффициенты импульсоотдачи равны нулю.

В гидростатике в состояние покоя вкладывается два понятия: абсолютный покой, когда жидкость находится в состоянии покоя относительно земли, и относительный покой, когда жидкость находится в покое относительно движущегося сосуда.

а) Абсолютный покой

Гидростатическое давление и его свойства.

Рассмотрим однофазное жидкое тело, находящееся в покое (рис.9). Наметим внутри объема точку А и проведем через нее поверхность ВС, которая разделит объем тела на два отсека: I и II.

Выделим около точки А на поверхности ВС площадку S. Через поверхность ВС будет передаваться сила давления со стороны отсека I на отсек II. Часть этой силы, обозначенная через P, приходится на площадку S. Сила, действующая на всю рассматриваемую площадку S, называется силой гидростатического давления или гидростатической силой.

Сила P по отношению к отсеку II является внешней поверхностной силой; по отношению же ко всему объему жидкости, состоящему из двух отсеков (I и II), она является силой внутренней. Силе P отвечает реакция (той же величины, что и сила P), действующая со стороны отсека II на отсек I. Поэтому внутреннюю силу P следует рассматривать как силу парную.

Рис.9. Сила давления P, действующая на площадку S в состояние покоя.

Разделив величину P на S, получим ,

где p_ср называется средним гидростатическим давлением.

Если представить, что площадь S стремится к нулю (однако так, чтобы точка А всегда находилась внутри контура площади S, стягиваемого в точку), то величина p_ср будет стремиться к определенному пределу, который обозначен через P. Этот предел выражает давление в намеченной точке А. Величина называется гидростатическим давлением в точке, а сокращенно - гидростатическим давлением, где P - сила давления среды на площадку S. Давление p имеет размерность H/м² или Па.

Давление в точке обладает двумя основными свойствами. Первое - гидростатическое давление в точке действует нормально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Второе - гидростатическое давление в точке в различных направлениях одинаково и не зависит от ориентации площадки действия.

Уравнение равновесия Эйлера. Запишем проекции уравнения равновесия Эйлера на оси декартовой системы координат

(1)

Здесь а_х ,а_y ,а_z - проекции ускорения массовых сил на оси координат.

Уравнения (1) представляют собой общие условия равновесия жидкого тела, находящегося в состоянии покоя.

Умножая уравнения (1) соответственно на dx,dy,dz и складывая их, получим

(2)

Так как левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал гидростатического давления, имеем:

(3)

Поверхность равного давления. Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Уравнение такой поверхности получается из уравнения (3), полагая p = const, или dp = 0. При этом из (3)

(4)

Основное уравнение гидростатики. Рассмотрим случай, когда из массовых сил действует только сила тяжести. Принимая положительное направление оси z вертикально вверх, имеем: ; ; (5)

Тогда, согласно уравнению (1) или (3), (6)

Интегрируя последнее уравнение, имеем: (7)

где С - постоянная интегрирования.

Полученное уравнение можно привести к виду, поделив на

(8)

Для двух любых точек одного и того же объема одной и той же жидкости уравнение (8) получает вид (9)

Уравнение (9) называется основным уравнением гидростатики и выражает гидростатический закон распределения давления.

Уравнение поверхности равного давления можно получить из (9), полагая p = const. Тогда имеем: z = const .

Следовательно, поверхности равных давлений в покоящейся однородной жидкости в случае действия из массовых сил одной силы тяжести представляют собой горизонтальные плоскости. Горизонтальной плоскостью в этом случае является и свободная поверхность жидкости.

Определение гидростатического давления в точке. Пусть z - координата точки внутри покоящейся жидкости, в которой необходимо определить давление p; z₀ - координата другой точки того же объема, давление в которой известно и равно P₀ .

По основному уравнению гидростатики (9)

откуда (10)

(z₀ - z)- глубина погружения одной точки над другой.

Если точка z₀ взята на свободной поверхности, то есть поверхности контакта жидкости с газом, то z₀ - z = h есть глубина погружения точки, а p₀ - давление на свободной поверхности и

В случае, если абсолютное давление больше атмосферного, используется понятие избыточное давление p_изб = p_абс - р_атм (11)

Если же абсолютное давление ниже атмосферного, то вводится понятие вакуума

р_вак = р_атм - р_абс (12)

Рис. 10.Эпюра гидростатического давления.

Давление на дно и стенки сосуда. Пусть H - высота слоя жидкости в сосуде р₀ - внешнее давление. Полное давление в точке В на дно сосуда: р_B = р₀ + gH. Сила давления на дно сосуда р_Д = р_В S_д = (р₀+  g H) S_д , (13)

где S_д - площадь плоского горизонтального дна сосуда.

Примем, что сосуд имеет постоянное поперечное сечение в форме квадрата со стороной . Давление в зависимости от глубины погружения рассматриваемой точки изменяется по линейному закону (10). Следовательно, среднее по высоте р_ср давление на стенку будет (14)

Среднее давление от столба жидкости будет равно . Сила давления на прямоугольную стенку (от полного давления):

(15)

Сила давления на стенку только от столба жидкости будет:

(16)

где S_с - площадь поверхности стенки, соприкасающейся с жидкостью.

На рис. 10 площадь KMCN представляет собой эпюру полного давления на стенку, а площадь KON - эпюру давления столба жидкости.

б) Относительный покой

Пусть жидкость находится в открытом сосуде и вращается с угловой скоростью  около своей вертикальной оси (рис. 11).

Когда движение установится, жидкость будет вращаться вместе с сосудом и будет относительно последнего находиться в покое.

Из массовых сил на каждую частицу жидкости, например М, будут действовать сила тяжести и центробежная сила инерции, вызванная вращательным движением сосуда. Для силы тяжести:

Для центробежной силы инерции:

где x,y,z - координаты точки М (рис.11).

Для определения формы свободной поверхности жидкости в сосуде воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности равного давления (4). Получаем: (17)

откуда после интегрирования находим:

(18)

Уравнение (18) показывает, что поверхности равного давления представляют параболоиды вращения. Для определения свободной поверхности, то есть поверхности соприкосновения жидкости с газом, можно сделать предположение, что она также будет являться поверхностью равного давления, а именно давления газа над ней р₀. Для получения соответствующего уравнения надо найти значение C₀. Учитывая, что при z = z₀, где z₀ расстояние от вершины параболоида до днища сосуда, x = 0, y = 0, получим:

Окончательно, с учетом, что r² = x² + y² , получим:

(19)

По этому уравнению можно найти любую точку, например, М' (радиус r) на свободной поверхности.

Рис. 11. Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде.

Точка М' находится над уровнем z₀ на высоте h', равной

(20)

где w =  r - линейная скорость точки М'.

Приведенные ранее уравнения позволяют найти закон распределения дав-лений. Используя формулу (2) и, учитывая преобразования, сделанные при выводе уравнения (18), проинтегрировав уравнение и учтя зависимость r² = x² + y² , получим (21)

Постоянную C₁ находим по давлению р₀ в точке свободной поверхности, расположенной на оси z (r = 0) и координата которой z = z₀. Тогда

(22)