Інтегральні теореми Коші

Розділ 3. Інтегральні теореми Коші

1. Інтеграл Рімана. Нехай задано функцію . Розглянемо таке розбиття проміжка , що . На кожному проміжку візьмемо довільну точку і складемо суму

, (1)

де . Інтегралом Рімана функції по проміжку називається границя

, , (2)

яка позначається символом

.

Іншими словами,

, (3)

де , . Інтеграл Рімана функції має звичайні для інтегралів властивості. Зокрема, для нього справедлива формула Лейбніца-Ньютона. Проте, при знаходженні первісної слід бути обережним, оскільки вона може виражатись через багатозначні функції. В такому випадку інколи доцільніше скористатись формулою (3) і звести знаходження розглядуваного інтеграла до знаходження двох інтегралів Рімана дійснозначних функцій.

2. Криволінійний інтеграл першого роду функції . Нехай задано функцію і шлях . Розглянемо таке розбиття проміжку , що . На кожному проміжку візьмемо довільну точку і складемо суму

, (1)

де , , . Криволінійним інтегралом першого роду функції по шляху називається границя

, , (2)

де , яка позначається одним із символів

, .

Якщо границя (2) існує і є скінченною, то називається інтегрованою на шляху . Криволінійний інтеграл першого роду має звичайні для інтегралів властивості, серед яких виділимо такі.

Теорема 1. Для будь-якого спрямованого шляху з довжиною виконується

,

Теорема 2. Кожна неперервна на спрямованому шляху функція є інтегрованою і

.

Теорема 3. Для будь-якої інтегрованої на спрямованому шляху функції виконується

.

Теорема 4. Якщо неперервна на гладкому шляху , то

.

Ці властивості випливають безпосередньо з означення та властивостей криволінійних інтегралів функції з в . Правда, потрібно врахувати, що , де , а .

Доведемо, наприклад, теорему 4. Нехай , , , а . Тоді

,

що і потрібно було довести. ►

Приклад 1. Знайдемо , де , . Оскільки , то

.

3. Інтеграл функції по шляху (криволінійний інтеграл другого роду). Нехай задано функцію і шлях . Розглянемо таке розбиття проміжку , що . На кожному проміжку візьмемо довільну точку і складемо суму

,

де , , . Інтегралом функції по шляху або криволінійним інтегралом другого роду функції по шляху називається границя

, , (1)

де . Отож, криволінійний інтеграл другого роду функції по шляху – це інтеграл Стілтьєса

функції по проміжку . Його позначають також символами

, .

Якщо границя (1) існує і є скінченною, то функція називається інтегрованою на . Криволінійний інтеграл другого роду має звичайні для інтегралів властивості, серед яких виділимо такі.

Теорема 1. , де – початок шляху, а – кінець.

Теорема 2. , якщо останній інтеграл існує, де – шлях, протилежний до шляху .

Теорема 3.

,

якщо останні інтеграли існують, де , .

Теорема 4. Якщо функція є неперервною на спрямованому шляху , то вона інтегрована і

.

Теорема 5. Якщо функція є неперервною на гладкому шляху , то

. (2)

Теореми 1-5 випливають безпосередньо з означень і властивостей криволінійного інтеграла в . Рівність (2) інколи беруть за означення інтеграла по . Теорема 5 показує, що інтеграли виду (1) по еквівалентним гладким шляхам є рівними.

Звичайною первісною функції або функції на гладкому шляху називається така функція , що , тобто така функція , що .

Теорема 6. Якщо – звичайна первісна функції на гладкому шляху і функція неперервна на , то

.

Доведення. Це твердження випливає із теореми 5. ►

Теорема 7. Якщо – гладкий шлях, функція є неперервною в області і має в однозначну первісну, тобто існує така функція , що для всіх виконується , то

, , .

Доведення. Функція є звичайною первісною функції на . Тому це твердження випливає з теореми 6. ►

Наведену нижче теорему 8 називають також лемою Гурса.

Теорема 8. Якщо функція є неперервною в області і – спрямований шлях, який лежить в , то для кожного знайдеться ламана (тобто шлях, який складається із скінченного числа відрізків), яка лежить в і

.

причому – замкнена ламана, якщо – замкнений шлях.

Доведення. Оскільки – компакт, то існує така область , що і відстань між і є додатною. З рівномірної неперервності в випливає, що

.

Оскільки шлях – спрямований, то можна знайти такий діаметр розбиття проміжку , що довжина звуження на кожний проміжок (це звуження позначаємо ) буде меншою за . Тоді відрізок і утворена цими відрізками ламана також належить . Тому враховуючи, що

,

маємо

.

Отож,

,

де – довжина . Звідси випливає потрібне. ►

Теорема 9. Якщо функція є неперервною в області і для будь-якого трикутника  такого, що , виконується

,

то для кожного замкненого жорданового спрямованого контуру , що лежить в , виконується

.

Д оведення. Справді, інтеграл по можна як завгодно наблизити

Рис. 1

інтегралами по замкненій ламаній . З іншого боку, інтеграл по замкненій ламаній можна подати (див. рис. 1) у вигляді суми інтегралів по межі трикутників. ►

Приклад 1. Знайдемо

,

де , . Маємо . Тому

.

Приклад 2. Покажемо, що для будь-яких і виконується

Справді,

Приклад 3. Нехай – шлях, який є частиною кола: , . Тоді

і, зокрема, якщо – півколо, тобто , то

.

Зауваження 1. У випадку, коли є відрізком з початком в точці і кінцем в точці , тобто , означення криволінійного інтеграла другого роду збігається з означенням інтеграла Рімана . У випадку, коли криволінійний інтеграл другого роду не залежить від шляху інтегрування в деякій області, його позначають символом

.

4. Функція на шляху. Функцією на шляху називається будь-яка однозначна функція . Можна дати трохи інше, але еквівалентне означення функції на шляху, яким ми частіше будемо користуватись. Однозначною гілкою багатозначної функції на шляху називається така однозначна функція , що для всіх виконується . Цю однозначну гілку позначають через або , а також через , хоч ці позначення є природними тільки у випадку жордановості . Кожна функція є однозначною гілкою деякої функції , тобто є функцією на шляху . Справді, позначимо через таку функцію із в , для якої образом кожного є ті , для яких існує таке, що і . Тому означення функції на шляху можна сформулювати іншим чином. Функцією на шляху називається будь-яка функція , яка є однозначною гілкою на деякої багатозначної функції .

Інтегралом функції по шляху називається інтеграл Стілтьєса

.

Якщо є однозначною гілкою на деякої багатозначної функції , то цей інтеграл позначають також символами

, .

Якщо – однозначна функція, то функція є функцією на шляху і останнє означення інтеграла функції збігається з означенням криволінійного інтеграла другого роду функції по .

Криволінійним інтегралом першого роду по шляху називається границя

.

Якщо – однозначна функція, то функція є функцією на шляху і останнє означення інтеграла функції збігається з означенням криволінійного інтеграла першого роду функції по . Якщо є однозначною гілкою на деякої багатозначної функції , то цей інтеграл позначають також символами

, .

Зустрічаються також невластиві криволінійні інтеграли та інтеграли в розумінні головного значення. Їхні означення наведемо пізніше.

Приклад 1. Функція , , є однозначною гілкою функції на шляху , , а функція , , є однозначною гілкою функції на шляху , .

5. Інтегральна теорема Коші. Таку назву має наступне твердження.

Теорема 1. Якщо функція є голоморфною в однозв’язній області , то для кожного замкненого спрямованого шляху , що лежить в , виконується

. (1)

Доведення. Ми доведемо спочатку цю теорему при додатковій умові: функція є неперервною в . Тоді функції і мають неперервні частинні похідні в і з умов Коші-Рімана отримуємо

, .

Тому, враховуючи, що

,

та умови рівності нулеві інтеграла по замкненому шляху для криволінійних інтегралів в , отримуємо (1). Переходимо до доведення теореми Коші в загальному випадку. Досить показати, що

, (2)

де – довільний трикутник такий, що . Припустимо протилежне, тобто що існує трикутник такий, що

.

За допомогою середніх ліній розіб’ємо на чотири трикутники. Оскільки інтеграл по сумі інтегралів дорівнює по межі чотирьох

отриманих трикутників, то знайдеться один із них (позначимо його через ) такий, що

.

Тепер трикутник ділимо за допомогою середніх ліній на чотири трикутники і т.д. В результаті отримаємо послідовність трикутників таку, що

. (3)

Проекціями на дійсну пряму будуть замкнені вкладені відрізки, які за принципом вкладених проміжків мають спільну точку. Звідси випливає, що всі замкнені трикутники мають спільну точку . Функція має похідну в точці . Тому , де коли . Тому

,

бо, як вже доведено вище, для функцій, які мають неперервну похідну, твердження теореми є справедливим. Далі, для кожного існує таке, що , якщо . Всі трикутники з номерами лежать в крузі . Тому для кожного

, ,

де – периметр . Але , де – периметр . Отже,

, ,

а це суперечить (3). Таким чином, (2) виконується і теорема доведена. ►

Приклад 1. Функція є голоморфною в двозв’язній області , а

.

Отже, вимога однозв’язності області в теоремі 1 є істотною.