Розділ 6

Теорема 2. Якщо функція є однозначною і неперервною гілкою на шляху функції , аналітичної в області , то є аналітичною на .

Доведення. Для кожного через позначимо такий канонічний елемент функції з центром в точці , для якого . Таких елементів може бути декілька. Оскільки – неперервна функція і згідно з теоремою Пуанкаре різних канонічних елементів з центром в заданій точці є скінченна або зліченна кількість, то серед них знайдеться такий (він єдиний), що для всіх з деякого проміжку виконується (якщо то беремо проміжок , а якщо , – то проміжок ). Ці проміжки є відкритими множинами в просторі і утворюють його відкрите покриття. З нього можна виділити скінченне підпокриття. Звідси і з означення аналітичного продовження вздовж шляху випливає твердження теореми. ►

Наслідок 2. Для того, щоб функція була аналітичною на неперервному шляху , необхідно і достатньо, щоб вона була неперервною гілкою на деякої функції , аналітичної в області .

Наслідок 3. Якщо функція є аналітичною на неперервному шляху і – її початковий канонічний елемент, то існують область і клас неперервних шляхів з початками в точці такій, що функція є аналітичною в .

Доведення. Справді, такою областю є обєднання кругів , де , і , збіжності рядів Тейлора канонічних елементів , за допомогою яких здійснюється аналітичне продовження вздовж . Множину утворюють ті неперервні шляхи з початками в точці , для яких існують точки , ,такі, що і , . ►

Отож, для кожної функції , аналітичної на неперервному шляху , існує єдина повна аналітична функція , для якої є неперервною гілкою на . Тому функцію , аналітичну на шляху , яка є неперервною гілкою на повної аналітичної функції , позначають також через , а також так .

Теорема 3. Нехай – загальна аналітична функція і її канонічний елемент допускає аналітичне продовження вздовж неперервного шляху , то на існує неперервна гілка функції така, що , де . Ця функція є аналітичною функцією на і – її початковий елемент.

Доведення. Нехай , , – ланцюг канонічних елементів, за допомогою якого здійснюється аналітичне продовження вздовж . Шуканою функцією є функція визначена рівністю , , , де – такі точки, що і , , а – канонічні елементи за допомогою яких здійснюються аналітичні продовження вздовж . Отож, якщо функція – неперервна на неперервному шляху , то , де – результат аналітичного продовження вздовж звуження на .►

Приклад 1. Функція , , є аналітичною на колі , , і є неперервною гілкою на цьому колі функції з початковим елементом з центром в точці 4, який в цій точці приймає значення 2.

18. Голоморфна первісна. Голоморфною або однозначною первісною функції в області називається така голоморфна в функція F, що .

Теорема 1. Якщо функція має голоморфну первісну в області , то є голоморфною в .

Доведення. Справді, F є голоморфною в . Тому голоморфними в є і всі її похідні. Але . Отже, є голоморфною в D. ►

Теорема 2. Для того, щоб функція була голоморфною в однозв’язній області , необхідно і достатньо, щоб вона мала в голоморфну первісну.

Доведення. Якщо є голоморфною в однозв'язній області , то на підставі теореми Коші інтеграл не залежить в від шляху інтегрування і (дивись доведення теореми Морери) функція є голоморфною первісною функції в області . Тому необхідна частина теореми доведена, а достатня випливає із попередньої теореми. ►

Теорема 3. Якщо голоморфна в області функція f має в голоморфну первісну , то для будь-яких точок і

(5)

і інтеграл (5) не залежить в від шляху інтегрування.

Доведення. Справді, нехай – гладкий шлях із початком в точці і кінцем в точці , а . Тоді , тобто функція є звичайною первісною функції на будь-якому гладкому шляху . Тому

.

Звідси випливає (5) і незалежність інтеграла (5) в від шляху інтегрування. ►

Теорема 4. Якщо функція , голоморфна в області , має в голоморфну первісну , то голоморфною первісною в D є також функція

, , (6)

й існує стала с така, що .

Доведення. Справді, з попередньої теореми випливає, що інтеграл (6) не залежить в D від шляху інтегрування. Тому (див. доведення теореми Морери) функція F є також голоморфною первісною . Отже, , якщо  Звідси та з умов Коші-Рімана отримуємо

,

де і . Тому W є сталою функцією і теорема 4 доведена. ►

Приклад 1. Функція є голоморфною первісною в функції .

19. Аналітична первісна. Аналітичною або багатозначною первісною функції називається така аналітична функція , що для кожної точки існують -окіл і голоморфна гілка функції в , для яких

Теорема 1. Для того, щоб неперервна в області функція мала аналітичну первісну, необхідно і достатньо, щоб була голоморфною в області D. Якщо ця умова виконана, то аналітичною первісною є функція , де

і Г – клас шляхів з початками в точці таких, що для кожної точки знайдеться з кінцем в точці . Якщо – інша аналітична первісна функції з такою ж множиною шляхів Г, то існує стала , для якої , тобто .

Доведення. Необхідність випливає безпосередньо з означення та нескінченної диференційовності голоморфних функцій. Далі, якщо є голоморфною в D, то є голоморфною первісною в деякому крузі . Якщо – довільна точка області і – шлях, який з’єднує точки а та b, то результат аналітичного продовження вздовж має вигляд

,

звідси випливає (1) і достатність доведена. Якщо – інша аналітична первісна, то в деякому околі точки a маємо . Тому і є голоморфними первісними функції в крузі . Отже, за відповідною теоремою для голоморфних первісних існує стала , за якої в цьому крузі. ►

Приклад 1. Функція є аналітичною первісною в функції .

20. Первісна аналітичної функції. Первісною функції , аналітичної в області , називається аналітична в області функція , для якої є голоморфною первісною .

Теорема 3. Нехай канонічний елемент з центром у точці допускає аналітичне продовження вздовж спрямлюваного шляху і . Тоді канонічний елемент , також допускає аналітичне продовження вздовж і результатом аналітичного продовження є

,

де , – довільний спрямлюваний шлях з початком в точці , який є гомотопним шляху в області, яка є обєднанням кругів збіжності канонічних елементів, за допомогою яких здійснюється аналітичне продовження вздовж , а – функція, аналітична на , з початковим елементом .

Доведення. Досить довести теорему у випадку, коли , а в цьому випадку твердження випливає безпосередньо з прикладу 6.3.2. ►

Теорема 2. Кожна функція , аналітична в області , має первісну. Однією з її первісних є функція , де

,

а для кожної іншої первісної існує стала така, що , тобто .

Доведення. Ця теорема випливає безпосередньо з означень, оскільки в деякому околі точки .►

Теорема 3. Якщо первісна функції , аналітичної в області , і та – результати аналітичних продовжень вздовж функцій та відповідно, то є голоморфною первісною .

Доведення. Це твердження випливає з попередніх двох теорем. ►

Приклад 1. Кожна повна аналітична функція виду , де -стала, є первісною повної аналітичної функції .

21. Первісна функції, аналітичної на шляху. Первісною функції , аналітичної на спрямлюваному шляху , з початковим елементом називається така аналітична на функція , початковий елемент якої є голоморфною первісною початкового елемента .

Теорема 1. Кожна функція з початковим елементом , аналітична на неперервному шляху , має первісну. Однією з її первісних є функція , аналітична на шляху , з початковим елементом , а для кожної іншої первісно існує стала така, що .

Теорема 2. Якщо є первісною функції , аналітичної на неперервному шляху , то функція є голоморфною первісною функції , де і кінцеві елементи функцій і , відповідно.

Теорема 3. Якщо є первісною функції , аналітичної на неперервному шляху , то є неперервною гілкою на деякої первісної функції , аналітичної в деякій такій області , що , де – початковий канонічний елемент функції .

Ці три теореми є наслідками результатів попередніх пунктів.

Теорема 4. Якщо є первісною функції , аналітичної на спрямлюваному шляху , то

, (1)

тобто

, (2)

де , .

Доведення. Нехай – початковий канонічний елемент функції , а , , – ланцюг канонічних елементів, за допомогою якого здійснюється аналітичне продовження вздовж і – множина точок таких, що і для виконується . Якщо шлях є гладким, то , тобто є звичайною первісною. Тому в цьому випадку (1) виконується. Якщо – довільний спрямлюваний шлях, то позначимо через гладкий шлях, який є гомотопним в звуженню на . Тоді на підставі теореми Коші

і теорема доведена. ►

Теорема 5. Для того, щоб функція була первісною функції , аналітичної на гладкому шляху , необхідно і достатньо, щоб для всіх , тобто щоб була звичайною первісною функції на .

Доведення. Необхідність. Нехай є первісною функції , аналітичної на . Тоді для кожного знайдеться окіл і голоморфні в деякому крузі функції та такі, для всіх і для всіх , тобто є звичайною первісною функції на . Навпаки, якщо є звичайною первісною функції на на гладкому шляху , то для кожного знайдеться окіл і голоморфні в деякому крузі функція такі, що і для всіх . Нехай

Тоді допускає аналітичне продовження вздовж і результат аналітичного продовження вздовж звуження шляху на має вигляд

Крім цього, для всіх і

для всіх з делякого околу точки . Тому є також первісною функції , аналітичної на .►

Приклад 1. Функція , , є аналітичною на колі , , і є неперервною гілкою на цьому колі функцій з початковим елементом з центром в точці 4, який в цій точці приймає значення 2,

.

Водночас, функція є первісною функції , аналітичної на , і . з іншого боку, функція є первісною повної аналітичної функції . Функція , , є аналітичною гілкою функції на , і .

Зауваження 1. Останній приклад показує, що рівність (1) може бути не справедливою, якщо є неперервною гілкою на аналітичної функції , а – довільна однозначна гілка на первісної функції . Суть теореми 2 полягає в тому, що рівність (2) справедлива, якщо –та гілка , яка є первісною на . Разом з цим, справедливе наступне твердження.

Теорема 6. Якщо функція є аналітичною первісною f, голоморфної в області D, то для будь-якого спрямлюваного шляху , , виконується

, (1)

де – будь-яка однозначна неперервна гілка функції F на , і .

Доведення. Справді, будь-який канонічний елемент функції з центром в точці має вигляд

,

а результат його аналітичного продовження вздовж шляху є таким

.

Тому кожна однозначна гілка аналітичної первісної функції має вигляд

,

де – стала. Звідси випливає потрібний висновок. ►

Наслідок 1. Якщо –повна аналітична функція, яка є аналітичною первісною в області функції , голоморфної в , то для будь-якого спрямлюваного шляху виконується (1).

Зауваження 2. Суть теореми 3 полягає в тому, що якщо є голоморфною в , то формула (2) справедлива для кожної однозначної неперервної гілки функції на .

22. Приріст функції на шляху. Приростом функції (однозначної) на шляху називається число , де і . Таким чином, приріст однозначної функції на шляху –це різниця значень функції цієї в кінцевій та початковій точках шляху. Приростом функції на шляху називається число . Якщо є однозначною гілкою на багатозачної функції , то знову можемо записати, що . Але тепер означає те значення функції в точці , яке приймає функція в точці , а – те значення функції в точці , яке приймає функція в точці . Приростом канонічного елемента або приростом функції , голоморфної в крузі , на шляху такому, що , називається число , де і – результат аналітичного продовження вздовж . Різні канонічні елементи з центром в точці а повної аналітичної функції F на одному і тому ж шляху можуть мати різні прирости. В цьому переконуємось на прикладі функції . Для цієї функції існують два різні канонічні елементи F_a з центром в точці , які на шляху , , мають прирости і . Різні однозначні неперервні гілки повної аналітичної на одному і тому ж шляху також можуть мати різні прирости. Проте для деяких функції ці прирости є одинакові і тоді можна говорити про приріст багатозначної функції на заданому шляху.

23. Однозначні гілки і прирости логарифма і аргументу на шляху.

Теорема 1. На будь-якому спрямованому шляху , який не проходить через початок координат, при будь-якому існує єдина однозначна неперервна гілка функції на  така, що , причому

, , (1)

і для всіх t із деякого околу точки , де – звуження  на , – результат аналітичного продовження вздовж тої однозначної гілки функції в околі точки , для якої .

Доведення. Справді, функція , визначена рівністю (1), є неперервною на . Крім цього, . Отже,  є шуканою неперервною гілкою. Справедливість рівності випливає із теореми 1.2, а єдиність – із неперервності і того, що два різні значення Ln z в одній точці відрізняються на .►

Наслідок 1. Приріст кожної неперервної однозначної гілки функції на спрямованому шляху , який не проходить через початок координат, дорівнює

і цей приріст збігається із приростом на  будь-якого канонічного елемента функції з центром в точці а, а також з приростом кожної первісної функції на шляху .

Наслідок 2. На будь-якому спрямованому шляху , який не проходить через початок координат, при будь-якому існує єдина неперервна однозначна гілка на шляху  функції така, що . При цьому , де - та однозначна гілка на , для якої . Цю гілку позначають також через .

Доведення. Для отримання наслідку 2 досить врахувати .►

Наслідок 3. Приріст кожної неперервної гілки функції

на спрямованому шляху , який не проходить через початок координат, дорівнює

.

Це число називається приростом на шляху . При цьому, якщо шлях  є замкненим, то .

Наслідок 4. На будь-якому спрямованому шляху , який не проходить через початок координат при будь-якому існує єдина неперервна гілка функції така, що .

Доведення. Справді, такою гілкою є функція ,де та гілка на , для якої Im(Ln ())_=..►

Наслідок 5. Якщо функція є голоморфною в області G, то на будь-якому спрямованому шляху такому, що (z)0 для всіх z[], існують однозначні і неперервні гілки функцій , і , які в заданій точці приймають задані значення із множини своїх значень в цій точці. Зокрема, гілка , яка в точці  приймає задане значення , має вигляд

,

а гілкою функції , яка в точці приймає значення , є функція

.

Наслідок 6. Нехай функція є голоморфною в області G і – спрямований шлях такий, що при всіх . Тоді приріст кожної однозначної і неперервної гілки на  має

вигляд , а приріст кожної неперервної гілки рівний

.

При цьому якщо шлях  є замкнений, то .

Приклад 1. Нехай – гладкий шлях. Покажемо, що

, ,

і, якщо не проходить через початок координат, то

,

де – така голоморфна гілка функції в області , що , де , і – шлях в , заданий ормулою . Справді, шлях є образом шляху при відображені, його початок знаходиться в , кінець в точці і він не проходить через точку . Тому функція є голоморфною в і

.

Крім цього, функція є голоморфною первісною функції в . Отже,

, .

З іншого боку,

, .

Отже, існує стала для якої

.

Але

, .

Тому і ми приходимо до потрібних рівностей.

24. Інтеграл в розумінні головного значеня по гладкому шляху. Нехай – гладкий жордановий шлях, і . Тоді в кожній точці цей шлях має дотичну і для всіх досить малих коло перетинає тільки в двох точках : і , . Розглянемо звуження та шляху на проміжки і відповідно. Інтегралом в розумінні головного значення функції в точці називається границя

.

Використовується також позначення

.

Якщо функція ішнтегрованих на , то вона інтегрована на і в розумінні головного значеня і обидва шнтеграли збігаються. Тому для позначення інтеграла в розумінні головного значення використовують талож символ .

Приклад 1. Нехай – замкнений жорданоіий гладкий шлях.. Покажемо, що

, ,

причому береться знак “+”, якщо задає додатну орієнтацію області і береться знак “ ” у протилежному випадку. Справді, нехай . Тоді в першому випадку

,

де - та частина кола , яка входить в межу області . Якщо , то прямує до півкола. Тому

і ми приходимо до потрібного висновку.

Приклад 2. Нехай –замкнений жорданоіий гладкий шлях де , . Покажемо, що

, ,

де , , –такий замкнений жордановий гладкий шлях, що для і задає додатну орієнтацію області , а –звуження на . Справді,

і залишилось скористатись попереднім прикладом.