3. Простейшие модели систем

3.1. Модель маятника

Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не вызывает сомнений. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать.

Рассмотрим пример модели, основанной на законе сохранения энергии. Этот закон известен почти двести лет и занимает наиболее почетное место среди великих законов природы. Опираясь на этот закон, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имеющий поблизости специальной лаборатории, может воспользоваться относительно простым устройством типа маятника – груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне (Рис. 3.1.1).

Рис. 3.1.1. Схема модели движения маятника с пулей

Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе «пуля-груз» свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы. Эти процессы описываются цепочкой равенств

mv²/2 = (M + m)V²/2 = (M + m)gl(1 – cos ).

Здесь mv²/2 – кинетическая энергия пули массы m, имеющей скорость v, M – масса груза, V - скорость системы «пуля –груз» сразу после столкновения, g – ускорение свободного падения, l - длина стержня, - угол наибольшего отклонения. Искомая скорость определяется формулой

v= ,

которая была бы точной, если бы не потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, разгон стержня и т. д. Если эти потери невелики, то формула дает приближенное значение скорости пули. Эти, на первый взгляд, разумные

рассуждения на самом деле неверны. Процессы, происходящие при «слипании» пули и груза, уже не являются чисто механическими. Поэтому примененный для вычисления величины V закон сохранения механической энергии несправедлив: сохраняется полная, а не механическая энергия системы. Этот подход дает лишь нижнюю границу для оценки скорости пули (для правильного решения этой простой задачи надо воспользоваться также законом сохранения импульса).

3.2. Модель движения по быстрейшему пути с «отражением».

В данном разделе будет рассмотрена модель, основанная на другом законе природы, которые в механике называют «вариационными принципами». Вариационные принципы представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального (наибольшего или наименьшего) значения.

Пусть некоторый объект, движущийся с постоянной скоростью v, должен попасть из точки A в точку B за кратчайшее время и при этом коснуться некоторой поверхности C₁C₂ (Рис. 3.2.1). Будем искать ответ среди ломаных ADB. Но где тогда будет точка D? Или иначе, под каким углом должна быть наклонена прямая AD к прямой C₁С₂ , чтобы время движения вдоль ломаной ADB было бы минимальным? Из рисунка видно, что

t( )=a/vsin + b/vsin .

Здесь t( ) – время движения по ломаной ADB, a и b - длины перпендикуляров, опущенных из точек A и B на прямую, - угол между прямыми DB и C₁C₂ . Условие экстремума t( ) по аргументу означает, что

= 0

или

acos /sin² + bcos /sin² =0. (1)

C₂

c

D

Р ис. 3.2.1. Схема модели движения с «отражением»

С другой стороны, из рисунка видно, что

c =a/tg + b/tg .

Дифференцируя это равенство, получаем

a/sin² + b/sin² =0. (2)

Сравнивая (1) и (2), получаем cos = cos , откуда следует, что = .

Далее нетрудно найти сами значения _min, t_min через заданные величины a, b, c.

Отметим, что условие минимальных затрат времени привело нас к выбору соответствующей траектории по правилу «угол падения равен углу отражения». Но ведь именно такому закону подчиняется и ход светового луча, попадающего на отражающую поверхность, а это происходит согласно известному вариационному принципу Ферма.