Формула сложения вероятностей. Определение вероятности хотя бы одного события. Задача №18

В электрическую цепь (рис.16) последовательно включены 3 элемента, вероятности отказа которых соответственно равны: q₁ = 0,1; q₂ = 0,2; q₃ = 0,3. Определить вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение.

Для нахождения ответа можно воспользоваться формулой сложения для трех совместных событий (тока в цепи не будет при отказе или 1-го или 2-го или 3-го элементов, или при совместном отказе любой пары элементов или при отказе всех трёх элементов):

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

Qc = q₁ + q₂ + q₃ – q₁q₂ – q₂q₃ – q₁q₃ + q₁q₂q₃ = 0,1 + 0,2 + 0,3 – 0,1·0,2 – 0,2·0,3 –

– 0,1·0,3 + 0,1·0,2·0,3 = 0,496.

Более рационален способ решения через нахождение вероятности противоположного события – работоспособного состояния системы

Р_С = p₁p₂p₃ = 0,9·0,8·0,7·= 0,504;

Q_С = 1 – Р_С = 1 – 0,504 = 0,496.

З адача №19

В люстре параллельно включено 5 электрических лампочек (рис. 17). Вероятность работоспособного состояния каждой лампочки одинакова и равна 0,8. Определить вероятность того, что при включении в сеть в цепи будет протекать ток.

Решение.

Р_с = 1 – Q_c = 1 – q₁q₂q₃q₄q₅ = 1 – 0,2·0,2·0,2·0,2·0,2 = 0,99968.

Задача №20

Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 18) определить вероятность отказа системы в целом Q_с по вероятностям отказа отдельных элементов q_i (генератора, линии, 1-го и 2-го трансформаторов).

Решение.

Для трех совместных событий формула сложения выглядит следующим образом:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

На рис. 19 закрашенная область соответствует сумме событий А,В,С.

Пользуясь обозначениями вероятностей отказа элементов можно записать: Q_с = q _г + q _т1 + q _л + q _т2 – q _г q _т1 –q _г q _л – q _г q _т2 –q _т1 q _л –q _т1q _т2 – q _л q _т2 +

+ q _г q _т1 q_л + q _г q _л q _т2 + q _г q _т1 q _т2 +

+ q _т1 q _т2 q _л – q_г q _т1 q _л q _т2.

Особенность данной задачи состоит в том, что вероятности отказов отдельных элементов схемы достаточно малы (порядка 10^-2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, причем погрешность приближения практически не повлияет на результат. Тогда можно записать: Q_с ≈ q_Г + q_Т1 + q_Л + q_Т2.

К подобного рода упрощениям расчетных формул следует относиться с осторожностью, тщательно анализируя возникающие погрешности. Так, при больших периодах наблюдения вероятности отказов могут существенно вырасти, и пренебрежение отдельными слагаемыми формулы приведёт к неверным результатам.

Целесообразнее решать задачу по формуле умножения вероятностей:

Q_C = 1 – Р_С = 1 – (1 – q_Г)(1 – q_Т1)(1 – q_Л)(1 – q_Т2)

Задача №21

Определить вероятность безотказной работы системы Р_С, состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.

Решение.

Рассматриваемая система на логической схеме анализа надёжности должна быть представлена в виде трёх элементов, соединенных параллельно (рис.20).

Пусть Р₁, Р₂ и Р₃ – вероятности безотказной работы соответственно 1-го, 2-го и 3-го элементов. Тогда Р_С = Р₁ + Р₂ + Р₃ – Р₁ Р₂ – Р₁ Р₃ – Р₂Р₃ + Р₁ Р₂ Р₃.

В данном случае проводить упрощение так, как в задаче 20, нельзя вследствие того, что все слагаемые имеют одинаковый порядок малости. Подобное приближение даст недопустимо большую погрешность!

Целесообразнее решать задачу по формуле умножения вероятностей:

Р_С = 1 – (1 – р₁)(1 – р₂) (1 – р₂).