2. Примеры решения задач

1. Найти область сходимости и сумму ряда .

◄

= .

Поэтому область сходимости ряда – промежуток , а сумма ряда – функция ►

2. Найти область сходимости функционального ряда .

◄ 1) Члены ряда положительны при всех . Применим признак Даламбера.

, ,

.

При , то есть при , ряд сходится.

При , то есть при , ряд расходится.

При , то есть при , ряд имеет вид . Согласно примеру 3.2.4 он сходится.

Итак, область сходимости ряда – промежуток . ►

3. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение 1.

◄ Применим признак Даламбера.

, .

.

По признаку Даламбера⁴ при , то есть при , ряд сходится, а при , то есть при , ряд расходится. Решая неравенство , получаем . Таким образом, мы нашли интервал сходимости .

Рассмотрим случай или .

При ряд имеет вид .

Это знакочередующийся ряд, . Следовательно, он сходится по признаку Лейбница.

При ряд имеет вид

.

Этот ряд был рассмотрен в примере 2.2.5. Он расходится.

Таким образом, область сходимости – промежуток . ►

Решение 2.

◄ Используем формулу для радиуса сходимости. Так как

, то

.

Поэтому область сходимости – интервал с центром в точке и радиусом , к которому, возможно, следует присоединить его концы: точки и . Исследование сходимости ряда в этих точках уже проведено в решении 1. Итак, область сходимости – промежуток . ►

4. Найти область сходимости ряда .

◄ Применим признак Даламбера.

.

При ряд сходится, при ряд расходится.

Рассмотрим случай , то есть или . Ряд имеет соответственно вид или . У обоих рядов и, согласно достаточному признаку расходимости, они расходятся.

Итак, область сходимости ряда задаётся неравенством или , то есть представляет собой промежуток . ►

5. Найти область сходимости ряда .

◄ Применим признак Даламбера.

; .

.

Если , то ряд сходится. Решая это неравенство, получаем , . Если , т.е. то ряд расходится.

При ряд имеет вид или .

Так как несобственный интеграл

сходится, то и ряд сходится.

При ряд имеет вид или . Он сходится, так как сходится ряд из модулей.

Итак, область сходимости ряда – отрезок .►

3. Задачи для самостоятельного решения

Найти области сходимости функциональных рядов.

.

.

Найти области сходимости степенных рядов.

.	.
.	.
.	.

5. Разложение функций в степенные ряды

1. Сведения из теории