- •Введение
- •Глава 1. Элементы векторного анализа
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Математическое понятие поля. Градиент
- •3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса
- •4. Ротор. Теорема Стокса
- •5. Некоторые соотношения векторного анализа
- •6. Операции в криволинейных координатах
- •В цилиндрических координатах
- •В сферических координатах
- •7. О дифференциальных уравнениях с частными производными
- •Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона
- •8. Дельта-функция Дирака
- •9. Интегрирование уравнения Пуассона
- •10. Граничные задачи для уравнения Лапласа
- •11. Метод разделения переменных
- •Г лава 3. Гармонические колебания и волны
- •12. Гармонические колебания и метод комплексных амплитуд
- •13. Волновые процессы и их математическое описание
- •14. Вращение декартовой системы координат
- •Глава 4. Решения волновых уравнений
- •15. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера
- •16. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции
- •17. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
- •Глава 5. Краевые задачи электродинамики
- •18. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения
- •19. Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •20. Сведения из алгебры
- •21. Проекционные методы
- •Список литературы
- •Контрольные задания
20. Сведения из алгебры
2 0.1. Векторы и матрицы. Запишем п линейных уравнений с п неизвестными:
(20.1)
Существует ещё следующая краткая форма записи этой системы
Ах = B, (20.2)
где объект А, представляющий собой таблицу коэффициентов
A 11 A12. . . . . . . . . A1n
A21 A22. . . . . . . . . A2n = А, (20.2а)
…………………..
An1 An2. . . . . . . . . Ann
называется квадратной матрицей порядка п, а х и b - столбцы величин
x1 b1
x2 b2
… = x и … =b (20.2б) xn bn
(наборы чисел), рассматриваемые как векторы.
Действительно, вектор в трёхмерном пространстве характеризуется набором трех чисел, выражающих его компоненты. Подобно этому х и b играют роль векторов в n-мерном пространстве, а систему уравнений (20.1) можно считать аналогом линейного преобразования (1.11). На векторы в n-мерном пространстве распространяются правила действий (1.2) - (1.4). А именно, суммой векторов а и b является вектор с с компонентами ci = ai + bi; произведение числа т на вектор а даёт вектор с компонентами таi; скалярное же произведение векторов с и b есть число
Формальный смысл равенства (20.2) заключен в том, что его левую часть следует рассматривать как произведение матрицы А на вектор х; с этой точки зрения, левая часть (20.1) указывает правило умножения А на х, результатом которого является вектор b с компонентами
Над матрицами также производятся алгебраические действия. Равенство
Аа + Ва = B,
где А и В - квадратные матрицы порядка п, а а и b - соответствующие векторы, можно выразить в виде
Са = B.
Здесь C - новая матрица, являющаяся суммой матриц А и В:
(20.5)
К понятию операции умножения матрицы на матрицу приходим, имея равенства типа (20.2)
Ах = b и х = Вс.
Исключая х, запишем:
Сс = b,
где матрица С есть произведение А и В. Правило образования её элементов Cik из Aik и Bik нетрудно получить, отправляясь от первоначальных форм типа (20.1). Оно имеет вид;
(20.6)
Операция умножения матриц некоммутативна, т. е. вообще АВ ≠ ВА.
20.2. Некоторые виды матриц. Матрица называется диагональной, если все элементы Aik при i ≠ k равны нулю, т. е.
(20.7)
( - символ Кронекера, см. § 19 п. 2); в частности, при
(20.7а)
матрица A называется единичной и обозначается А = I; все элементы Аii при этом равны единице, а остальные - нулю. Транспонированной по отношению к А называют матрицу А', обладающую тем свойством, что
. (20.8)
Матрица А' получается из А путем замены строк столбцами. Комплексно-сопряженной называется матрица А* с комплексно-сопряженными элементами:
. (20.9)
Введем, далее, .понятие обратной матрицы А-1: для неё
. (20.10)
Матрица А может не иметь обратной и называется тогда особенной.
Поставим целью для данной матрицы А найти так называемую сопряжённую матрицу , удовлетворяющую условию
, (20.11)
где а и b - произвольные векторы. На основании определения скалярного произведения векторов (20.3) должно быть:
,
т. е.
.
При любых a и b это возможно лишь при равенстве для всех i и k, а следовательно,
(20.11а)
Мы видим, что сопряжённая матрица является транспонированной и комплексно-сопряжённой.
Если матрица А равна сопряжённой, т. е. и
, (20.12)
то ввиду (20.11а)
. (20.12а)
Диагональные элементы такой матрицы Аи вещественны. Матрица называется эрмитовой (самосопряжённой).
Если эрмитова матрица вещественна (A* = А), и согласно (20.12а) Aik=Aki, т.е.
, (20.13)
то говорят, что она является симметрической.
Наконец, вернемся к уравнению (20.2) и поставим вопрос, каким свойством должна обладать матрица А, чтобы выполнялось равенство
(х,х) = (b,b). (20.14)
Его можно истолковать так: при преобразовании вектора х и b последний сохраняет длину, т. е. имеет место поворот вектора в n-мерном пространстве. Выражая в (20.14) b через х, имеем:
(х, х) = (Ах, Ах).
Перепишем это с учётом (20.11) в виде:
.
Отсюда следует, что равенство (20.14) выполняется, если
, (20.15)
т. е. ввиду (20.10) сопряж`нная и обратная матрица равны. Исходная матрица A называется при этом унитарной. Если матрица A вещественна (A* = A) и унитарна, то
. (20.16)
Такую матрицу называют ортогональной.
Заметим, что ортогональными являются матрицы преобразований, рассмотренных в § 14, составленные из направляющих косинусов для декартовой системы координат в трёхмерном пространстве. Элементы произвольной ортогональной матрицы тоже можно истолковать как направляющие косинусы (в n-мерном пространстве).
20.3. О задачах линейной алгебры. Одной из задач линейной алгебры является решение системы уравнений (20.1), т. е, согласно (20.2) определение вектора х при заданной матрице А и заданном векторе b. Если матрица А-неособенная (имеет обратную), то, умножая (20.2) слева на A-1, сразу получаем формальное решение задачи:
. (20.17)
Можно сказать, что решение системы уравнений (20.1) сводится к обращению её матрицы А. Показывается, что
(20.18)
где Δ = DetA - определитель, соответствующий матрице А, а Δik - алгебраические дополнения к элементам Aik; эти понятия считаются известными читателю. Можно отметить, что в (20.18) фигурируют алгебраические дополнения не к тем элементам матрицы Аiк, на местах которых они находятся, а к транспонированным. Очевидно, матрица А - особенная, если Δ = 0.
Рассмотрим однородную систему уравнений, в матричной форме имеющую вид:
Аа = κа, (20.19)
где κ - некоторый параметр (число). Это формулировка задачи на собственные значения матрицы А (ср. § 19, п. 1).
Для того чтобы однородная система имела решение (отличное от нулевого) её определитель должен обращаться в нуль, т. е. в данном случае должно быть:
Det |A - κ I| = 0, (20.20)
или в подробной записи:
= 0. (20.20а)
Уравнение (20.20) называют характеристическим (или вековым) уравнением матрицы А. Собственные значения матрицы κ = κi являются его корнями.
Различные способы обращения матриц и нахождения их собственных значений излагаются в курсах линейной алгебры и вычислительной математики (см., напр., [4]).