- •Введение
- •Глава 1. Элементы векторного анализа
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Математическое понятие поля. Градиент
- •3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса
- •4. Ротор. Теорема Стокса
- •5. Некоторые соотношения векторного анализа
- •6. Операции в криволинейных координатах
- •В цилиндрических координатах
- •В сферических координатах
- •7. О дифференциальных уравнениях с частными производными
- •Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона
- •8. Дельта-функция Дирака
- •9. Интегрирование уравнения Пуассона
- •10. Граничные задачи для уравнения Лапласа
- •11. Метод разделения переменных
- •Г лава 3. Гармонические колебания и волны
- •12. Гармонические колебания и метод комплексных амплитуд
- •13. Волновые процессы и их математическое описание
- •14. Вращение декартовой системы координат
- •Глава 4. Решения волновых уравнений
- •15. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера
- •16. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции
- •17. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
- •Глава 5. Краевые задачи электродинамики
- •18. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения
- •19. Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •20. Сведения из алгебры
- •21. Проекционные методы
- •Список литературы
- •Контрольные задания
4. Ротор. Теорема Стокса
4.1. Ротор. В 1.2 было показано, что для полей потенциальных циркуляция при однозначности потенциала равна нулю (п. 4). Однако в общем случае циркуляция вектора по некоторому контуру L не должна обязательно быть равной нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция также может быть использована для локальной характеристики поля. При этом возникает понятие ротора вектора , обозначаемого символом rot . По определению, rot есть вектор, проекция которого на произвольное направление выражается следующим образом:
(4.1)
где ΔS - площадка, выбранная так, что есть нормаль к ней, a L - контур этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (если смотреть вдоль нормали, то обход производится по часовой стрелке).
4.2. Ротор в декартовых координатах. Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Обратимся к рис. 4.1, на котором через произвольную точку М(х, у, z) проведены три координатные линии и построены элементарные площадки, лежащие в координатных плоскостях. Желая сначала найти проекцию вектора на ось х, мы должны вычислить циркуляцию вектора F по контуру первой площадки и перейти к пределу согласно (4.1). Действия при этом похожи на производившиеся в преыдущем разделе. Итак, на основании (4.1)
Таким образом,
(4.2a)
Совершенно аналогично получаем:
, (4.2б)
и
. (4.2в)
Эти три равенства удобно объединяются в форме определителя:
(4.3)
Нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно «безвихревыми», т. е. для всякого вектора будет . Чтобы проверить тождество
, (4.4)
достаточно рассмотреть какую-либо одну его проекцию. Так, составляя по формулам (4.2а) и (2.4а) проекцию этого вектора на ось х, имеем:
.
Другой важный факт заключается в том, что дивергенция вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле соленоидально (3.2):
. (4.5)
Действительно,
Из определения ротора, его можно трактовать в физическом смысле как вихрь.
4.3. Теорема Стокса. Перейдем, наконец, к теореме Стокса, содержание которой выражается равенством:
, (4.6)
где S - некоторая поверхность, a L - её контур, направление обхода которого при интегрировании согласовано с направлением положительной нормали к S, как и ранее. Согласно теореме Стокса, поток ротора некоторого вектора F через поверхность S равен циркуляции самого вектора по соответствующему контуру L.
Чтобы убедиться в справедливости теоремы Стокса, разобьем произвольную поверхность S на достаточно малые элементарные площадки Δsi (рис. 4.3) и для определения ротора внутри Δsi воспользуемся приближённым соотношением
есть внутри Δsi) вместо (4.1). Поскольку точность этого равенства может быть как угодно велика (достаточно лишь взять соответственно малые размеры элемента Δsi), то
где ε – наперёд заданная сколь угодно малая положительная величина.
Рис. 4.3
Выбрав все элементы достаточно малыми, произведём суммирование по i и получим:
где фигурирует циркуляция по граничному контуру L всей поверхности S, поскольку при суммировании части циркуляции по общим границам смежных элементов взаимно уничтожались; действительно, как видно из рис. 4.3, направления обходов общих участков границ смежных элементов противоположны.
Неограниченно измельчая все элементы и переходя соответственно этому от суммы к интегралу (N→∞), а также учитывая произвольную малость ε, приходим от предыдущего равенства к формулировке теоремы Стокса (4.6).