Разность матриц

Определение: Разностью двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как разность соответствующих элементов матриц.

Пусть и . Тогда , где , , .

Разность матриц А и В обозначается символом .

Замечание 1.

А, В, С – матрицы одинаковых размеров.

Замечание 2.

Разность матриц можно определить также следующим образом: , где - матрица, противоположная матрице В.

Произведение матрицы на число

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

Пусть , k – число. Тогда такая, что (17) ( , ). Обозначения: или .

Пример 3.

Найти матрицу 3А-2В, если

Решение

Имеем ,

Справедливы следующие свойства

1. 

2. 

3. 

4. 

А, В – матрицы.

,  - числа.

Произведение матриц

Определение: Пусть , . Тогда , такая, что , , , .

Произведение матрицы А на матрицу В обозначают .

Следует запомнить, что операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Следует запомнить.

Из определения произведения матриц следует, что элемент матрицы АВ, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Замечание 1.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Замечание 2.

Если матрицу А можно умножить на матрицу В, а В можно умножить на А, то, вообще говоря, .

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Справедливы следующие свойства умножения матриц:

1. 

2. 

3. 

4. , А – квадратная матрица, Е - единичная матрица того же порядка.

Лекция № 2. § 2. Определители. Определитель второго порядка

Определение: Определителем 2-го порядка называют число, которое получается из элементов квадратной матрицы по указанному правилу.

Определитель второго порядка: .

Обозначение определителя: . Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.

Замечание

Вычислить определитель 2-го порядка означает найти разность из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) и произведения элементов, находящихся на побочной, диагонали.

Пример 1.

Вычислить:

Свойства определителя второго порядка

Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный.
Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
Если все элементы какой - либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.
Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.
Если элементы какого - либо столбца (или строки) определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Если к элементам какой - либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.