- •Введение в теорию вероятностей
- •§ 1. Элементы комбинаторики
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Свойства сочетаний
- •§ 2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Предмет теории вероятностей
- •2.2. Испытания и события
- •2.3. Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •2.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
- •2.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.6. Полная группа событий
- •2.7. Противоположные события
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей
- •3.1. Произведение событий
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •3.6. Теорема сложения вероятностей
- •3.7. Формула полной вероятности
- •3.8. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •§ 4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Локальная теорема Лапласа
- •4.3. Интегральная теорема Лапласа
- •§ 4. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины
- •5.1. Случайная величина
- •5.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •5.3. Биномиальное распределение
- •5.4. Распределение Пуассона
- •5.5. Геометрическое распределение
- •§ 6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •6.2. Свойства математического ожидания
- •§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.1. Отклонение случайной величины
- •7.2. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.3. Свойства дисперсии
- •7.4. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Свойства функции распределения
- •§ 9. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Свойства плотности распределения
- •§ 10. Нормальное распределение
- •10.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •10.2. Нормальное распределение
- •10.3. Нормальная кривая
- •§ 11. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 11. Задания для самостоятельной работы
- •I. Элементы комбинаторики
- •II. Непосредственное вычисление вероятностей
- •III. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •V. Повторные испытания
- •VI. Случайные величины
- •VII. Нормально распределенная случайная величина
- •§ 12. Задания для индивидуальной работы.
- •Литература
- •Приложение
- •Значение функции
- •Значения функции
6.2. Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = СМ(Х).
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Следствие.
M(XYZ) = M(XY ∙ Z) = M(XY)M(Z) = N(X)M(Y)M(Z).
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Следствие.
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в nнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х) = np.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Вычислить М(Х) общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому: М(Х) = np = 10 ∙ 0,6 = 6.
§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины
7.1. Отклонение случайной величины
Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:
Х – М(Х).
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M[X – M(X)] = 0.
Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Х |
1 |
2 |
р |
0,2 |
0,8 |
Убедиться, что M[X – M(X)] = 0.
Решение. М(Х) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,8 = 1,8. Вычислим отклонения:
1 – 1,8 = -0,8;
2 – 1,8 = 0,2.
Запишем закон распределения отклонения:
Х – М(Х) |
-0,8 |
0,2 |
р |
0,2 |
0,8 |
7.2. Дисперсия дискретной случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Для этого вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.
Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величин от ее математического ожидания:
.
Пример. Вычислить дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
Х |
1 |
2 |
5 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Решение. 1. М(Х) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 +5 ∙ 0,2 = 2,3
2. [X1 – M(X)]2 = (1 – 2,3)2 = 1,69;
[X2 – M(X)]2 = (2 – 2,3)2 = 0,09;
[X3 – M(X)]2 = (5 – 2,3)2 = 7,29.
3. Записываем закон распределения:
[X – M(X)]2 |
1,69 |
0,09 |
7,29 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: