Тема 3. Векторные пространства. Системы линейных уравнений Основные определения и понятия темы

Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов ([1], стр. 176), базис и ранг системы векторов ([1], стр. 182-183), векторное пространство над полем ([1], стр. 245), подпространство ([1], стр. 250), линейная оболочка системы векторов ([1], стр. 250), базис и размерность конечномерного векторного пространства ([1], стр. 256, 260), координаты вектора в базисе ([1], стр. 265), изоморфизм векторных пространств ([1], стр. 266);

система линейных уравнений с n неизвестными ([1], стр. 185), решение системы линейных уравнений ([1], стр. 185), совместная, несовместная, определенная, неопределенная системы линейных уравнений ([1], стр. 186), равносильные системы линейных уравнений ([1], стр. 186), однородная система линейных уравнений с n неизвестными ([1], стр. 193), фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений ([1], стр. 204).

Основные теоремы и утверждения темы

Свойства линейно зависимой и линейно независимой систем векторов ([1], стр. 176), простейшие свойства векторных пространств ([1], стр. 247), критерий для подпространства ([1], стр. 250), теорема о размерности суммы подпространств ([1], стр. 261), теорема об изоморфизме векторных пространств одинаковой размерности ([1], стр. 269), теорема о множестве решений однородной системы линейных уравнений ([1], стр. 196), теорема о связи множества решений неоднородной системы уравнений и множества решений соответствующей однородной системы уравнений ([1], стр. 194).

Образцы решения задач

Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса):

. (1)

Решение.

Составим расширенную матрицу системы (1) и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

∿

∿ ∿

∿ .

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы системы (1) равен 3 (число ненулевых строк в матрице после приведения ее к ступенчатому виду) и равен рангу основной матрицы системы (матрицы из коэффициентов при неизвестных). Поэтому, согласно теореме Кронекера-Капелли, система (1) является совместной. Так как ранг расширенной матрицы не равен числу неизвестных, то система (1) является неопределенной. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатой матрице:

(2) .

Отметим, что системы (1) и (2) являются равносильными, т.е. множества их решений совпадают. В системе (2) неизвестные являются главными, а - свободная неизвестная. Найдем общее решение системы (2), а значит, и системы (1):