Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ

С ПОМОЩЬЮ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

Методические указания

к лабораторной работе № 305

Санкт-Петербург

ПГУПС

2008

Цель работы – наблюдение интерференционной картины колец равной толщины (колец Ньютона); измерение радиусов колец Ньютона; вычисление радиуса кривизны линзы.

1. Краткие основы теории

Интерференция

Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление – в других. Интерферировать могут только волны, имеющие одинаковую частоту. В данной работе изучается интерференция световых волн. Волна света – это процесс распространения электромагнитных колебаний в диапазоне длин волн: 400 нм – 750 нм. Вектор напряженности электрического поля Е в электромагнитной волне называют световым вектором, так как им определяются основные свойства световой волны.

Уравнение сферической волны имеет вид:

Е = Аsin(ωt – 2πr/λ + α),

где ω – циклическая частота электромагнитных колебаний;

λ – длина волны в вакууме;

r – расстояние от источника колебаний до точки наблюдения;

α – начальная фаза колебаний;

φ = ωt – 2πr/λ + α – фаза.

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн одинаковой частоты ω, которые возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления с амплитудами А₁ и А₂ и с разностью фаз этих колебаний ∆φ = 2π(r₂ – r₁)/λ + (α₂ – α₁). В результате суперпозиции возникает колебание с амплитудой А, где

А² = + + 2А₁А₂ cos∆φ. (1)

Последнее слагаемое в этой формуле называют интерференционным членом. Рассмотрим его влияние на результирующую интенсивность, т. е. на среднее по времени значение плотности потока энергии. Интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды световой волны I ~ A². В точках пространства, где cos∆φ > 0 (см. (1)), интенсивность результирующей волны I > I₁ + I₂ (I₁ и I₂ – интенсивности интерферирующих волн); в точках пространства, где cos∆φ < 0, интенсивность I < I₁ + I₂. При интерференции волн не происходит сложения их энергий. Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между различными близко расположенными частицами среды. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн. Особенно ярко интерференция проявляется тогда, когда I₁ = I₂. Тогда, согласно (1), минимальное значение интенсивности I = 0, а максимальное I = 4I₁.

Если две волны возбуждают в некоторой точке пространства колебания не одного направления, т. е. угол между векторами А₁ и А₂ не равен нулю, то интерференционный член будет содержать скалярное произведение векторов А₁ и А₂. В таком случае при наложении двух световых волн одинаковой частоты, у которых колебания электрических векторов E происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях, интерференционный член обращается в ноль (скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов), интерференции не происходит, всегда I = I₁ + I₂.

Интерференция бывает стационарной и нестационарной. Стационарную (устойчивую в пространстве и времени) интерференционную картину могут давать только когерентные волны. Когерентные волны – это волны с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз. Для двух когерентных волн, совершающих колебания в одной плоскости, имеющих одинаковые начальные фазы α₁ = α₂, разность их фаз равна

∆φ = 2π(r₂ – r₁)/λ.

Если две волны распространяются в средах с различным показателем преломления, соответственно n₁ и n₂, то разность их фаз

∆φ = 2π(n₂r₂ – n₁r₁)/λ = 2πΔ/λ. (2)

Величину Δ = n₂r₂ – n₁r₁ называют оптической разностью хода.

Любой источник света – это скопление множества непрерывно возбуждаемых атомов. Генератор световой волны – это каждый отдельный атом вещества. Особенностью каждого атома является его самостоятельность, независимость от других атомов. Поэтому фазы световых волн, которые испускаются атомами вещества, хаотически изменяются. Таким образом, два обычных источника света (например, две электрические лампочки) испускают некогерентные волны. При наложении таких волн друг на друга быстро и беспорядочно меняется разность их фаз, что воспринимается глазом как равномерная освещенность (при усреднении по времени в (1) среднее значение косинуса <cos∆φ > = 0, т. е. I = I₁ + I₂. Только в лазере, где используется вынужденное излучение, все возбужденные атомы излучают электромагнитные волны согласованно.

Когерентные световые волны можно получить, «разделив» волну, излучаемую одним источником, на две части. В результате получают двулучевую интерференционную схему. Все двулучевые интерференционные схемы делятся на два больших класса: схемы, построенные по методу деления волнового фронта, и схемы, построенные по методу деления амплитуды. Метод деления волнового фронта, как это и следует из названия, заключается в выделении различных частей единого волнового фронта с последующим наложением вторичных волн. Наиболее простым примером этого метода является опыт Юнга с двумя щелями, с помощью которого впервые была измерена длина световой волны. Метод амплитудного деления заключается в разделении всего волнового фронта падающей волны как единого целого с помощью полупрозрачных зеркал, пленок, границ раздела и т. д. В настоящей работе используется второй метод; рассмотрим его более подробно.

Интерференция на тонкой пластине

П

Рис. 1

d

О

усть на прозрачную плоскопараллельную тонкую пластинку толщиной d с показателем преломления n (у окружающей среды показатель преломления равен единице) падает параллельный пучок монохроматического света (монохроматическая волна – это строго синусоидальная волна с постоянной во времени частотой и амплитудой). Луч (под лучом будем понимать световые волны, распространяющиеся в определенном направлении) падает на пластину под углом ψ₁ (рис. 1), частично отражается, а частично преломляется. В результате происходит деление амплитуды падающей волны. При отражении от границы среды, оптически более плотной, в среду, менее плотную (отражение в точке О), световая волна меняет фазу своего колебания на противоположную. Изменение фазы на π соответствует «пробегу» волной дополнительного расстояния λ/2 (как говорят, свет при отражении «теряет половину длины волны»). Таким образом, добавив (или вычтя) половину длины волны (в вакууме) к разности хода лучей 1 и 2, мы учтем изменение фазы колебания луча 1 при отражении в точке О.

Лучи 1 и 2 когерентны, так как исходят от одного источника. Разность хода лучей 1 и 2 в точках А и В равна

Δ = nS₂ – S₁,

где S₁ = |OA|, S₂ = |OC| + |CB|, а n – показатель преломления пластины.

Из рис. 1 следует, что S₁ = 2d · tg(ψ₂)sin(ψ₁), S₂ = 2d/cos(ψ₂). Далее, воспользовавшись соотношением cos²(ψ₂) = 1 – sin² (ψ₂) и законом преломления света sin(ψ₂) = sin(ψ₁)/n, получаем

.

С учетом изменения фазы на π окончательно имеем:

. (3)

Если на пути лучей 1 и 2 поставить собирающую линзу, то лучи сойдутся в фокальной плоскости линзы и будут интерферировать. При Δ = kλ (k = 1, 2, 3…) разность фаз, согласно (2), ∆φ = 2kπ, т. е. колебания придут в точку наблюдения «в фазе» и усилят друг друга, в результате чего получаются максимумы интенсивности; а при Δ = (k + ½)λ (k = 0, 1, 2, 3…) разность фаз ∆φ = (2k + 1)π, т. е. колебания придут «в противофазе» и ослабят друг друга, в результате чего получаются минимумы интенсивности.

При постоянном угле падения ψ₁ и показателе преломления n результат интерференции зависит только от толщины пластинки d. Поэтому на пластинке переменной толщины возникает система интерференционных полос, каждая из которых соответствует определенному значению толщины пластинки. Картина интерференции в этом случае называется полосами равной толщины. В настоящей работе исследуется интерференционная картина полос равной толщины, называемая кольцами Ньютона.

Кольца Ньютона

Если на плоскую отшлифованную стеклянную пластинку С положить плосковыпуклую линзу L (рис. 2), то между ними образуется очень тонкая воздушная прослойка, заштрихованная на рис. 2, толщина которой возрастает от точки соприкосновения линзы с плоскостью (точка А) по направлению к краям линзы.

При освещении линзы сверху пучком параллельных лучей монохроматического света в отраженном свете будут интерферировать лучи, отразившиеся от верхней и нижней границ воздушной прослойки (например, лучи 1 и 2). При отражении от других поверхностей интерференционные полосы не возникают вследствие большой толщины пластинки и линзы.

В

L

С

А

Рис. 2

точке А толщина воздушной прослойки мала даже по сравнению с длиной световой волны. Для лучей, отражающихся около точки А, разность хода обусловливается только потерей полуволны λ/2 лучом, отраженным от нижней границы прослойки, т. е. от поверхности стекла С как от среды оптически более плотной. Лучи, отразившиеся в точке А, взаимно погасят друг друга, и при рассмотрении сверху в точке А наблюдается темное пятно. По мере удаления к краям линзы, с нарастанием толщины воздушного слоя растет и разность хода интерферирующих лучей; причем места, отвечающие одинаковой толщине слоя, располагаются на одинаковом расстоянии от центра А. Поэтому в отраженном свете наблюдается чередование концентрических светлых и темных колец, окружающих центральное темное пятно. Каждому данному кольцу соответствует определенная толщина воздушного слоя. Таким образом, получаем интерференционную картину с кольцами равной толщины, которой было дано название колец Ньютона.

О

Рис. 3

бщий вид колец Ньютона, видимых в поле зрения микроскопа, представлен на рис. 3. Так как толщина зазора d меняется нелинейно (при малых толщинах можно считать функцию d от поперечной координаты квадратичной), то система колец постепенно сгущается от центра А к периферии.

Радиус r колец Ньютона можно определить с помощью следующего расчета. На рис. 4 изображена сфера, частью которой является наша плосковыпуклая линза L; R = |OA| – радиус кривизны линзы.

Ввиду малой кривизны поверхности линзы можно считать, что угол преломления луча на границе линза – воздушный зазор равен нулю, т. е. воздушный зазор можно уподобить плоскопараллельной пластинке. Поэтому можно воспользоваться формулой (3). Запишем условие образования темных колец. Они возникают там, где оптическая разность хода волн, отраженных от обеих поверхностей зазора, равна нечетному числу полуволн (учтем в формуле (3), что ψ₁ = π):

Δ = 2d + λ/2 = (2k + 1)λ/2.

О тсюда

2d = kλ. (4)

Из прямоугольника OKF, согласно теореме Пифагора (рис. 4),

|KF|² = |OF|² – |OK|²,

где |KF| = r – радиус кольца Ньютона.

Тогда:

r² = R² – (R – d)².

У

Рис. 4

читывая, что d << R, получим

r² = 2dR. (5)

Из (4) и (5) следует, что радиус k-го темного кольца

. (6)

Заметим, что k = 0 соответствует центральному темному пятну.

Р

Рис. 5

адиус колец Ньютона увеличивается при возрастании длины волны освещающего излучения (на рис. 5 освещающее излучение слева красного света, а справа – синего). При освещении системы линза – пластинка не монохроматическим, а белым светом образующиеся кольца Ньютона окрашены в радужные цвета. Чем дальше кольца удалены от центрального темного пятна, т. е. чем толще слой воздуха, при прохождении которого получается интерференция света, тем ближе сходятся эти разноцветные кольца, пока, наконец, они совсем не сливаются и их суммарный цвет не превратиться в белый.