Выборка №3.

Исходные данные:

	50
	15
a	7,5
b	92,5
h	5
число интервалов	17
	6
	9
	14
	36
	46
	86
	104
	127
	136
	125
	106
	81
	51
	32
	16
	8
	5

В данной выборке рассматривается случай непрерывной случайной величины. Мы будем работать со случайной величиной, имеющей нормальное распределение, что позволит нам, познакомится с характеристическими свойствами этого распределения. На этом примере мы познакомимся с приемами работы с большими выборками, а именно с линейным преобразованием исходных данных.

a=7, 5 – начало первого интервала; b=92,5 – конец последнего интервала; h=5 – интервальный шаг; N=17 – число интервалов; N=988 – объем выборки; – данные заранее частоты; – середины интервалов.

Сведем все наши расчеты в Таблицу 7.

Визуализация данных.

Построим гистограмму:

Построим график эмпирической функции распределения:

Теперь строим кривую Кетли:

Замена переменных в статистике.

Пользуясь вычислительными теоремами выборочной теории, осуществим переход от к по формуле: .

В качестве c берем середину серединного интервала, таким образом, c=50. В качестве k возьмем k=8.

Произведем расчет , , , , .

Восстановление подлинных значений этих величин:

;

;

те же самые что и , .

Из таблицы 7 получаем = 0,0101; = 3,35;

Восстанавливаем выборочное среднее для исходных данных:

= -0,010*8+50=49,92;

Восстанавливаем выборочную дисперсию для исходных данных:

=3,35*64=214,16;

= = = 0,013;

= = = 0,115;

;

= 214,38;

Выводы: в среднем изучаемая случайная величина принимает значение 49,92 и колеблется в пределах 49,92 14,63. Коэффициенты эксцесса и асимметрии близки к нулю. Это значит, что распределение вероятностей симметрично относительно средней выборочной; так как коэффициент эксцесса примерно равен нулю, то возможно мы имеем нормальное распределение вероятностей.

Расчет моды.

Найдем модальный интервал. Для этого в таблице 7 выберем интервал с наибольшей частотой. Модальный интервал (47,5; 52,5).

47,5-5 = 49,5

Вывод: мода равна 49,5. Около этого числа концентрируются те значения случайной величины, которые принимаются чаще всего.

Вычисление выборочной медианы.

Ищем сначала медианный интервал, пользуясь рассчитанными в таблице 7 накопленными относительными частотами.

= 0,433 < 0,5 8-я строка таблицы 7;

= 0, 697 > 0,5 10-я строка таблицы 7.

Вывод: накопленная относительная частота равная 0,5 достигается на 9-ом интервале.

Медианный интервал (47,5; 52,5).

= 49, 93;

Вывод: медиана равна 49, 93.

50% 50%

49, 93

делит числовую ось на две равновероятные области событий: 50% принимаемых значений меньше 129,99 и 50% больше.

Обратим внимание на ряд особенностей, возникших при расчете данной выборки:

1). Модальный и медианный интервалы совпали, этой особенностью обладает нормальное распределение вероятностей;

2). 50 – это тоже характерно для нормального распределения; ;

3). , 0 - отражает свойства нормального распределения вероятностей: = в ).