- •11.1.Задачи, приводящие к понятию интеграла по фигуре.
- •11.1.2. Свойства двойных интегралов
- •11.1.3. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •11.1.4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •11.1.5. Приложения двойных интегралов
- •2. Объем цилиндрического тела: . (11.1.9)
- •11.2. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •11.2.1. Масса неоднородного тела. Определение тройного интеграла. Основные свойства тройного интеграла
- •11.2.2. Основные свойства тройного интеграла
- •11.2.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •11.3.3. Переход в тройном интеграле к сферическим координатам
- •11.3.4. Приложения тройных интегралов
- •11.4. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Их основные свойства и вычисление.
- •11.4.1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода).
- •11.4.2. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
- •11.5. Определение и вычисление поверхностных интегралов II-го рода
- •11.6. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов I-го рода, их свойства и вычисление
11.4.2. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть и - функции двух переменных, непрерывные в некоторой области D, и L – гладкая линия, целиком расположенная в этой области.
Разобьем линию L на п участков и в каждом таком участке выберем по произвольной точке . Обозначим проекции к-го участка на оси координат через и и составим сумму
. (11.4.8)
Сумма (11.4.8) называется п-ой интегральной суммой по линии L, а ее предел при стремлении длины наибольшего частичного участка к 0.
-
криволинейным интегралом 2-го рода по линии L.
О п р е д е л е н и е. Криволинейным интегралом по линии L называется предел п-й интегральной суммы (11.4.8) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой L.
Линия L называется линией или контуром интегрирования. Точка В называется начальной, а точка С – конечной точками интегрирования.
В частности, если , то интеграл имеет вид и называется криволинейным интегралом по координате х.
Аналогично, если , то называется криволинейным интегралом по координате у.
З а м е ч а н и е. Работа силового поля при перемещении материальной точки по кривой L под действием силы выражается криволинейным интегралом:
. (11.4.9)
Вычисление криволинейных интегралов приводится к вычислению обыкновенных определенных интегралов. Рассмотрим интеграл и предположим, что уравнение линии интегрирования L дано в параметрическом виде:
, .
Начальной точке линии (В) соответствует значение параметра , а конечной (С) - . Возьмем интегральную сумму , пределом которой является данный интеграл, и преобразуем ее к переменной t. Так как , то, применяя формулу Лагранжа, получим , где лежит в интервале , а . В качестве промежуточной точки выберем как раз ту, которая соответствует значению параметра . Тогда
, .
Преобразованная сумма
будет обыкновенной интегральной суммой для функции одной переменной , а ее предел – определенным интегралом
.
Точно также
.
Отсюда и вытекает правило вычисления криволинейного интеграла II рода.
Для того чтобы криволинейный интеграл , взятый по линии , , преобразовать в обыкновенный, нужно в подынтегральном выражении заменить х, у, и их выражениями через t и и вычислить получившийся интеграл по интервалу изменения параметра t:
,
(11.4.10)
где и - значения параметра t, соответствующие точкам В и С линии L.
Если уравнение линии L задано в виде , то, полагая в общей формуле преобразования , получим:
, (11.4.11)
где и - абсциссы точек В и С.
Если уравнение линии L задано в виде , то полагая , то получим:
, (11.4.12)
где и - ординаты точек В и С.
Пример 1. Вычислить интеграл , где L – дуга параболы от ее точки до точки .
Решение.
, , .
Тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл , где L – дуга циклоиды от точки до точки .
Решение.
, , .
.
Аналогичным образом вычисляется криволинейный интеграл
по пространственной линии L, заданной параметрически уравнениями , , , :
. (11.4.13)