2.4. Равновесие жидкости при наличии негравитационных массовых сил

До сих пор мы рассматривали равновесие жидкостей и газов при наличии лишь гравитационных массовых сил — сил

тяжести.

В практике имеет место равновесие жидкостей и газов при наличии негравитационных массовых сил — сил инерции и элек­тромагнитных сил, действующих на проводящие среды. Общеё условие возможности существования равновесия, заключается в том, что массовые силы должны иметь потенциал, относится и ко всем негравитационным массовым силам.

В этом параграфе остановимся на двух случаях равновесия при нали­чии сил инерции.

Пример. Пусть сосуд, на­полненный жидкостью, движется равноускоренно (или равнозамедленно) в горизонтальном направле­нии (рис. 2.5).

Из теоретической механики известно, что задачу динамики можно рассматривать как задачу статики, если к внеш­ним силам прибавить силы инерции.

Е сли сосуд движется равноускоренно с ускорением а, то при выбранной системе координат проекции напряжений массовых сил будут

X = a; Y = 0; Z = g.

Уравнение (2.5) после интегрирования примет вид

Произвольная постоянная С определится из условия, что при х=x₀ и z = z₀ давление будет р= р_о, т. е.

,

следовательно, давление в любой точке жидкости определится по формуле

а уравнение поверхностей уровня (р =const) будет иметь вид .

Если равноускоренное движение с ускорением а направлено

вертикально вниз, то массовые силы, отнесенные к единице массы, будут

и

интеграл уравнения (2.5) будет равен

.

Постоянная определится из условия, что при z = z₀ р = р_о

т.е.

,

тогда давление в любой точке жидкости равно

. (2.15)

Уравнение поверхностей уровня будет z = const.

Из сравнения соотношения (2.15) с фор­мулой (2.9) видим, что при таком движе­нии уменьшается суммарное ускорение, а при а = g жидкость будет невесомой.

Очевидно, что, изменив направление движения на обратное, при том же ускорении получим эффект обратный, как бы утяжеле­ние жидкости. Это явление наблюдается при взлете ракеты.

Задание 1. У тягача - автомобиля в течение времени t равномерно изменяется скорость от V₁ до V₂ , в результате чего изменяется форма свободной поверхности жидкости, которой наполнена прицепленная к нему цистерна (рис. 2.6). Диаметр цистерны D, длина L. Плотность жидкости .

Задание:

1. Вывести уравнение свободной поверхности жидкости.

2. Определить, на какую высоту повысится или понизится уровень жидкости у передней стенки цистерны (по ходу автомобиля – тягача).

3. Построить линию свободной поверхности жидкости.

4. Определить величину избыточного гидростатического давления в точке, обозначение которой указано в исходных данных.

Исходные данные	0	1	2	3	4	5	6	7	8
V1,км/ч	5	20	40	45	50	70	20	10	5
V2, км/ч	20	5	30	25	35	39	10	30	25
t, с	7	6	4	5	6	4	5.5	6	5
L, м	8.7	14.7	9.4	10	9,6	6,7	12	14	12
D, м	2,2	3	2	2,8	3	2,6	2,2	3	2
, кг/м^3	890	900	950	830	800	900	830	790	850
Точка	A	B	C	A	B	C	B	A	C

Примечание:

1. Для вывода уравнения свободной поверхности жидкости необходимо воспользоваться уравнением равновесия жидкости в дифференциальной форме.

2. Г оризонтальное ускорение а, м/с², определяется по формуле

.

Пример 2.

Рассмотрим равновесие жидкости, покоящейся относительно сосуда, равномерно вращающегося вокруг верти­кальной оси с угловой скоростью  (рис. 2.7).

П роекции сил на оси координат будут

а уравнение (2.5) после интегрирования примет вид

Произвольная постоянная определится из условия, что при

.

Следовательно, гидростатическое давление равно

уравнение поверхностей будет

Э то уравнение есть уравнение параболоида вращения.