Вопрос 7.10*. (а) Перечислите все возможные упорядоченные списки всех избирателей избирательной системы с весом из вопроса- разминки 7.1.

(б) Найдите ключевого избирателя для каждого из различных упорядоченных списков из пункта (а).

(в) Используя ваш ответ на пункт (б), найдите индекс Шепли— Шубика для каждого из избирателей избирательной системы с весом из вопроса-разминки 7.1.

Вопрос 7.11. Сравните ваш ответ на пункт (а) вопроса 7.10 с ва- шим ответом на пункт (г) вопроса 7.3.

(а) Должны ли два эти ответа быть одинаковыми? Одинаковы ли они? Объясните все расхождения между ними, которые вы заметили, и обсудите, разумно ли, по-вашему мнению, что эти расхождения су- ществуют.

(б) Как вы думаете, какой индекс лучше представляет распреде- ление влиятельности в системе из вопроса-разминки 7.1? Четко объ- ясните ваш ответ.

Вопрос 7.12. (а) Чему будет равен индекс Шепли—Шубика для диктатора? Для пустышки? Объясните ваши ответы, используя поня- тия из определения 7.9.

(б) Что вы можете сказать об индексе Шепли—Шубика для изби- рателя, обладающего правом вето? Приведите убедительные доводы, подтверждающие ваш ответ.

Как мы видели в вопросе 7.10, не только вычисления для опреде- ления индексов Шепли—Шубика отличаются от вычислений для опре- деления индексов Банцафа, но и результаты этих вычислений могут быть также различными. Конечно же, это аналогично тому, что мы видели в предыдущих главах, когда рассматривали результаты, к кото- рым приводят различные избирательные системы для выборов, в ко- торых участвуют больше двух кандидатов.

Точно также, существуют другие значительные отличия между двумя индексами. С одной стороны, влиятельность Банцафа для от- дельного избирателя, вообще говоря, вычислить легче, чем влиятель- ность Шепли—Шубика. Тем не менее, общую влиятельность Банцафа для системы найти вообще труднее, чем общую влиятельность Шеп- ли—Шубика для системы. Чтобы найти общую влиятельность Банца-

фа системы, мы должны найти влиятельность Банцафа для каждого избирателя. А для того, чтобы найти общую влиятельность Шепли— Шубика для системы, нам нужно найти лишь число упорядоченных списков всех избирателей системы. Следующий вопрос наводит на мысль, как мы можем действовать при вычислении общего числа упорядоченных списков.

Вопрос 7-13*- (ю Сколькими различными способами можно упо- рядочить двух избирателей?

(б) Сколькими различными способами можно упорядочить трех избирателей?

(в) Сколько может быть различных упорядоченных списков из че- тырех избирателей? (Подсказка. Вы могли бы выписать все эти спис- ки, но, возможно, будет проще заметить лишь, что каждый список из четырех избирателей можно получить, поместив четвертого избира- теля в некоторый уже сформированный список первых трех избира- телей.)

(г) Сколько может быть различных упорядоченных списков из пяти избирателей? (Подсказка. Используйте ваш ответ на пункт (в) и подсказку из этого пункта.)

(д) Вы уже заметили закономерность? Учитывая ваши ответы на пункты (а)—(г), можете ли вы ответить, сколько может быть различ- ных упорядоченных списков из шести избирателей? Из восьми? Из п избирателей (где п обозначает некоторое произвольное число из- оирателей)?

Величины, которые вы вычислили в вопросе 7.13, часто называ- ют факториалами. Для целого числа п мы обозначаем п-факториал как п! и определяем эту величину по формуле из ответа на пункт (д) попроса 7.13, приведенного в конце этой главы. (Заметим, что теперь, когда вы ответили на этот вопрос, может быть, вам захочется запи- • мть формулу для п! здесь на полях. Мы еще некоторое время будем использовать факториалы в наших вычислениях, так что вам будет *обно иметь эту формулу под рукой.)

Теперь, когда мы убедились, насколько легко найти общую влия- тельность Шепли—Шубика для избирательной системы, давайте обра- I мся к вычислениям для отыскания индексов Шепли—Шубика в бо- ■п-е сложном примере. Мы опять рассмотрим избирательную систе- му с весом, которая использовалась в наблюдательном совете округа I laccay в 1965 г. (мы впервые обратились к ней в вопросе 7.7).

Поскольку в этой системе шесть избирателей, (шесть районов, пе- речисленных в табл. 7.2), общая влиятельность Шепли—Шубика для