1

Основы теории плоского зацепления

Лекция 1

Рассматривая вопросы кинематики зубчатых передач, мы не касались вопросов, связанных с геометри­ей зубчатого зацепления. Выясним, какая должна быть геометрическая форма контактирующих поверхностей для обеспечения постоянного передаточного отношения. Определим основные размеры и параметры зубчатых колес различных типов.

Основная теорема плоского зацепления

(Основной закон. Теорема Виллиса)

Под зацеплением понимают высшую кинематическую пару (т.е. контакт двух материальных тел по линии или в точке), в которой движение от одного тела к другому передается путем давления (или за счет сил давления).

Понятие зацепления шире, чем контакт зубчатых колес. Это может быть и контакт кулачка с роликом, кулачка с толкателем, контакт двух любых криволинейных поверхностей.

Мы будем рассматривать плоское зацепление. Плоским называется такое зацепление, в котором отно­сительное движение звеньев плоское (в одной плоскости или параллельных плоскостях).

Основная теорема зацепления устанавливает связь между кинематикой звеньев (угловыми скоростями) и геометрией контактирующих поверхностей (их формой).

Теорема справедлива для любых двух звеньев, передающих движение силой давления, т.е. для любой кинематической пары, где движение передается силой давления.

Рассмотрим случай, когда оба контактирующих тела совершают вращательное движение. Это частный случай плоскопараллельного движения. В планетарных механизмах, например, сателлиты совершают плоскопа­раллельное движение.

Пусть два произвольных профиля контактируют в данный момент времени в точке А (рис. 1). При этом звено I совершает вращательное движение вокруг оси O₁ с угловой скоростью ₁ и передает движение звену 2, которое вращается с угловой скоростью ₂ вокруг оси О₂. Зацепление будем считать правильным.

Правильным называется такое зацепление, в котором контакт профилей существовал до рас­сматриваемого момента, существует в рассматриваемый момент и будет существовать после рассматри­ваемого момента.

Определим передаточное отношение от звена 1 к звену 2.

Рассмотрим, как передаточное отношение связано с формой контактирующих поверхностей, с геомет­рией зацепления. Определим линейные скорости точки А, как принадлежащей звену 1 и звену 2. Для этого со­единим центры вращения O₁ и О₂ с точкой контакта звеньев А. Полученные отрезки O₁A и О₂А, проведенные в мгновенную точку контакта, являются мгновенными радиусами вращения. Поэтому абсолютные скорости то­чек A₁ и А₂ направлены перпендикулярно к соответствующим радиусам вращения.

[1]

Так как точка А расположена не на межосевой линии O₁ и O₂, то линейные скорости точек и не совпадают по направлению. Это общий случай.

Через точку контакта профилей проведем общую нормаль n-n и большую касательную - к профилям и спроектируем на них абсолютные скорости точек и . Обозначим проекции скоростей на общую нор­маль n-n соответственно C₁ и С₂, а на общую касательную - соответственно K₁ и К₂.

Точку пересечения нормали n-n с межосевой линией обозначим Р. С центров вращения O₁ и О₂ на об­щую нормаль проведем перпендикуляры O₁B₁ и О₂В₂. Углы между направлениями скоростей и и об­щей нормалью обозначим соответственно ₁ и ₂. Проанализируем связь между проекциями скоростей и на общую нормаль C₁ и С₂. Поскольку отрезки, изображающие векторы и , мы выбрали произвольно не определяя их точно, то возможны следующие соотношения между C₁ и С₂:

1. Предположим, что C₁<C₂. Тогда профиль 2 уйдет от профиля 1 и зацепление нарушится, т.е. пере-станет существовать кинематическая пара. Следовательно по условию правильного зацепления проекция на общую нормаль C₁ не может быть меньше проекции на общую нормаль С₂.

2. Предположим, что C₁>C₂. Тогда в процессе работы профиль 1 должен обогнать профиль 2, что воз­можно только при деформации профиля 2 или профиля 1, что по условиям работы кинематической пары недо­пустимо. Следовательно С₁ не может быть больше С₂.

₂

₂

₂

3. Таким образом остается единственный правильный вариант

Только при этом условии может существовать кинематическая пара 1 -2.

Изобразим отдельно кинематическую пару 1-2 с соблюдением этого условия (рис. 2). Запишем условие C₁ = C₂ через абсолютные скорости точек профилей

В

[2]

полученное равенство подставим значения и по уравнениям (1)

,

Рассмотрим треугольники О₁В₁А и . Они подобны, так как их стороны взаимно перепенди-

кулярны. Тогда  АО₁В₁ = .

Аналогично подобны и треугольники О₂В₂А и и  АО₂В₂ = . Из треугольников

АО₁В₁ и АО₂В₂ получим

Рассмотрим полученное равенство. Здесь левая часть характеризует кинематику зацепления - пе-

редаточное отношение. Правая часть характеризуют геометрию контактирующих поверхностей (про-

филей), так как положение общей нормали целиком и полностью зависит от геометрии профилей. Таким обра­зом мы получили аналитическую зависимость между геометрией контактирующих профилей и их кинематикой.

Это и есть основная теорема зацепления.

Если зацепление правильное, то есть контакт между профилями не нарушается, то общая нор­маль к профилям, проведенная через точку их контакта, делит межосевое расстояние на отрезки, обрат­но- пропорциональные угловым скоростям звеньев.