Плоскость и прямая в пространстве

К аноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) параллельно направляющему вектору :

Задание 1. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельно вектору .

Ответ:

У равнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂):

Задание 2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Ответ:

Задание 3. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно прямой .

Ответ:

Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями L₁: и

L₂: .

За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами : .

Задание 4. Найти косинус угла между прямыми и

Ответ: .

Задание 5. Составить параметрическое и каноническое уравнение прямой, зная её общее уравнение

Ответ: , ,

Задание 6. Дана точка М0(-1; 2; 3) и прямая . Составить: каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 и параллельно данной прямой; уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно данной прямой и сделать схематический чертеж.

Ответ: а) , b) .

Задание 7. Дана точка М0(2; -1; 2) и плоскость . Составить: каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 перпендикулярно плоскости; уравнение плоскости, проходящей через точку М0 параллельно данной плоскости.

Ответ: а) , b) .

Задание 8. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость

Ответ: (5; -1; 0).

Задание 9. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .

Ответ:

Задание 10. Найти точку симметричную точке М(1; 5; 2) относительно плоскости .

Ответ: А(-3; 7; 4)

Задание 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -2; 1) и прямую

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью:

Задание 12. Задана плоскость Р: и прямая l: , причем LР. Требуется найти: угол между прямой и плоскостью; координаты точек пересечения прямой и плоскости.

Ответ: а) b) (1; -6; -4).

Задание 13. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые: L1: , L2: .

Ответ:

Задание 16. Выяснить расположение прямой и плоскости: , ; b) .

Ответ: а) , b) ‌|| .