- •1. Аксиоматика 3
- •2. Множества 4
- •3. Аналитическая геометрия 14
- •4. Векторная алгебра 25
- •5. Матрицы и определители 30
- •Аксиоматика
- •Аксиоматический метод построения математики
- •Математический язык
- •Множества
- •Понятие множества
- •Пустое множество
- •Числовые множества
- •Подмножества
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Вычитание множеств
- •Аналитическая геометрия
- •Система координат на плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками на плоскости
- •Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
- •Полярные координаты
- •Угол между прямыми
- •Уравнение окружности
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •У равнение сферы
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора
- •Коллинеарные векторы
- •Операции над векторами
- •Угол между векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Координаты вектора
- •Разложение векторов
- •Действия над векторами, заданным координатами в пространстве
- •Матрицы и определители
- •Матрицы
- •Определители
- •Определители третьего порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения матрицы
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Функции
- •Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Обзор элементарных функций и их графиков
- •Пределы
- •Предел последовательности
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Производная
- •Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Применение производной для исследования функции
- •Неопределенный интеграл
- •Способы интегрирования
- •О пределенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия:
- •Признаки сходимости ряда:
- •Ряды по степени разности
- •Теория вероятностей
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрические вероятности
- •Алгебра событий
- •Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместимых событий
- •Формула полной вероятности
- •Теорема умножения вероятностей независимых событий:
- •Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретных случайных величин
- •Функция распределения случайной величины
- •Нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратичное отклонение (стандартное)
- •Системы двух случайных величин и их числовые характеристики
- •Литература
Определители
Определение: определителем или детерминантом второго порядка, соответствующим матрицы , называется запись вида .
Элементы матрицы называются элементами определителя . Элементы образуют главную диагональ, а элементы – побочную.
Для вычисления определителя второго порядка надо из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Свойства определителя: величина :
не изменяется, если заменить его строки соответствующими столбцами:
.
не меняется, если к элементам какой-либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число:
изменяет знак, если поменять местами его строки или столбцы:
;
увеличиться в раз, если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в раз, т.е. общий множитель, имеющийся в столбце, или строке можно выносить за знак определителя:
Определители третьего порядка
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка: .
Определителем третьего порядка, соответствующей матрице , называется число .
Чтобы запомнить какие произведения брать с "+", а какие с "–" полезно правило треугольников:
Миноры и алгебраические дополнения матрицы
Минором элемента определителя называется определитель, получаемый вычеркиванием из него той строки и того столбца, который данный элемент принадлежит.
Пример:
Минор элемента записывается и им является определитель .
Определение: рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Определение: алгебраическим дополнением элемента ( ) определителя называется его минор, взятый со знаком . Если сумма элементов строки и столбца, на пересечении которого стоит элемент – четная, то "+", если нечетная – то "–": – берутся со знаком "+", – со знаком "–".
Правило: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое дополнение: – по этой формуле проводится вычисление определителя методом разложения по элементам первой строки.
Обратная матрица
Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица , удовлетворяющая условию , где – единичная матрица .
Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, а если не равен нулю, то матрица называется невырожденной.
Матрица
,
где – алгебраическое дополнение элемента невырожденной матрицы, является обратной для .
Рассмотрим пример составления матрицы, обратной данной:
.
Вычисляем определитель данной матрицы:
;
Вычисляем алгебраические дополнения:
, , ,
, , ,
, , .
Составляем матрицу С:
Сделав в этой матрице С ее строки столбцами с тем же номером получим:
– матрица, обратная А.