13. Нормальное распределение

Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение случайной величины, определяемое формулой

,

где параметры и нормальной случайной величины имеют следующие значения , .

Г рафик функции называется нормальной кривой или кривой Гаусса. На рисунке показаны три кривые при одном и различных :

14. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения случайных величин полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда этот закон неизвестен. Тогда случайную величину изучают по ее числовым характеристикам.

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины x на соответствующие вероятности:

.

При достаточно большом числе испытаний справедлива теорема: математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений.

Предположим, что произведению n испытаний, в которых дискретная случайная величина Х приняла значения соответственно m раз, так что , тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величиной X выражается равенством: ; величина является относительной частотой события, величина X приняла значение , то .

Часто "математическое" ожидание случайной величины называют ее средним значением.

Определение 2. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

15. Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:

1. МО постоянной равно значению этой постоянной .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: .

3. МО суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их МО: .

4. МО произведения независимых случайных величин равно произведению их МО: .

5. МО разности двух случайных величин Х и Y равно разности их МО: .

16. Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законам распределения:

	-2	0	2	и		-100	0	100
	0,4	0,2	0,4			0,3	0,4	0,3

МО этих величин одинаковы, но возможные значения Х распределены значительно ближе к своему МО, чем значения Y.

Определение 1. Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания (или просто отклонение случайной величины) называется случайная величина .

Теорема: математическое ожидание отклонения равно нулю.

.

Эта теорема не дает возможности определить "степень рассеивания" величины Х. Такой характеристикой является квадрат отклонения случайной величины Х: .

Закон распределения квадрата отклонения случайной величины Х запишем:

			…
			…

Определение 2. Дисперсией (dispersuis (лат.) – рассеянный; рассыпанный) дискретной случайной величины Х называется МО квадрата отклонения случайной величины Х от ее МО: . Из закона распределения величины следует, что

Свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности МО квадрата величины Х и квадрата ее МО: .

2. Дисперсия постоянной величины равна 0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна суме дисперсий этих величин: . Это свойство распространяется на сумму конечного числа слагаемых.

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий.

.