- •Вектор скорости
- •Ускорение, направлено в сторону вогнутости траектории.
- •Пример 3. При условии предыдущей задачи определить ускорение в т. А1, а2 и груза 4 через 1,5 с. После начала вращения. Время разгона равно 2 с., движение считаем равноускоренным.
- •2. Плоское или плоскопараллельное движение
- •5. Решая систему двух уравнений, найдем
- •Абсолютное ускорение
Кинематика
Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Другими словами, кинематика исследует изменения положения тел в пространстве, происходящие с течением времени.
Кинематика точки
Способы задания движения: естественный, векторный и координатный.
Движение тела или материальной точки считают известным, если существует возможность определить их положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Задание движения точки может быть осуществлено естественным или
координатным способами. Геометрическое место всех положений движущейся точки М называют её траекторией.
Естественный способ определения движения точки
П ри естественном способе определения движения точки должны быть известны ее траектория и дуговая координата как функция времени s=s(t). Должно быть указано также начало отсчета и положительное направление движения.
Скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее величина и направление определены величиной и знаком производной
.
В екторный способ задания движения
Положение точки М в пространстве определяется её радиус–вектором . Траекторией является геометрическое место концов вектора
Вектор скорости
Скоростью точки М, определяющей как быстро и в каком направлении она движется в данный момент времени t, называют предел
Вектор скорости равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
Так как предельным положением секущей ММ1 является касательная к траектории точки, то и вектор ее скорости в данный момент времени t направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Вектор ускорения
В еличину называют средним ускорением точки за время . Предел отношения
,
характеризующий изменение скорости в данный момент времени t, называют ускорением точки. Вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
Ускорение, направлено в сторону вогнутости траектории.
Координатный способ задания движения
В прямолинейной системе координат Oxyz вектор может быть представлен в виде
,
координаты точки М, определяющие закон ее движения в зависимости от времени t ;
- нормированный базис Oxyz.
1. Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:
2. Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей точки или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:
Величины (модули) скорости и ускорения в декартовой ортогональной системе координат определяют по формулам
,
а направления и характеризуют их направляющие косинусы
.
Задание движения в естественных осях
Предельное положение прямой, проходящей через точки М и М1 траектории L точки М, когда М1 стремится к М, определяет касательную к этой кривой в точке М. Обозначим - единичный направляющий вектор касательной к L в точке М.
Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой L определяется как предельное положение плоскости, содержащей в себе касательную в точке М кривой и любую точку М1 на ней, когда М1 стремится к М.
Нормаль к кривой в точке М, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью к кривой в т.М. Нормаль к кривой, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Прямоугольную систему взаимно ортогональных осей, направленных по называют естественными осями кривой L. Направление вектора скорости принимают за положительное направление касательной .
П оложительное направление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система осей являлась правой.
К ривизной «k» кривой L в точке М называют предел
.
Радиусом кривизны «» кривой L в точке М называют величину обратную ее кривизне в этой точке
.
Так, например, дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол : ,
где R – радиус окружности, то радиус кривизны для окружности
Ускорение точки можно разложить на тангенциальное , направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и нормальное , направленное по главной нормали к центру кривизны траектории и определяющее изменение направления .
Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде , то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение:
, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени:
Нормальное ускорение
Абсолютная величина может быть определена по формуле
.
Задача. По заданным уравнениям движения точки
x = 2t (см), (см)
определить ее траекторию, положение, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в заданное время t1 = 2c.
Решение.
Построим траекторию по точкам:
2.Величина скорости точки ; см/с; ; при t1=2с, vx=2 см/с vy=6см/с;
3. Величина ускорения точки ; ; ; .
4.Касательное ускорение ; при t1 = 2с .
5.Нормальное ускорение ;
при t1 = 2c : .
6.Радиус кривизны траектории ; при t1 = 2c
см.
Кинематика твердого тела
Твердые тела можно рассматривать как совокупность точек, расстояния между которыми в процессе их перемещения остаются неизменными. Угол между пересекающимися прямыми, связанными с телом, сохраняется без изменения, а параллельные прямые остаются параллельными при его движении. Положение точек твердого тела полностью определено, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой.
1. Простейшие движения твердого тела
К простейшим относятся поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.
1.1. Поступательное движение. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.
Выберем подвижную систему отсчета Axyz , оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.
Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.
Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.
Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной его точки.
Все точки тела движутся по идентичным траекториям, а их скорости и ускорения одинаковы.
Скорости и ускорения при простейших движениях точек тела при его
поступательном движении
Равномерное прямолинейное движение (v=const) по оси Х
x=x0+vt, a=0.
Равномерное криволинейное движение (v=const)
s=s0+vt,
где s − дуговая координата; s0 − дуговая координата в начальный момент времени при t=0.
Равноускоренное движение (a=const)
v=v0+ аτ t
здесь v0 − начальная скорость при t=0.
1.2. Вращательное движение твердого тела
Вращательным движением называется такое движение, при котором любые две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными.
П рямая, соединяющая эти точки называется осью вращения все точки этой прямой также остаются неподвижными. Остальные точки тела движутся по окружностям в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры расположены на оси вращения.
Такое движение вполне определяется углом поворота тела относительно некоторого начального положения:
За время t угол изменяется на величину . Отношение к t называют средней угловой скоростью тела за время t , .
Угловая скорость тела:
.
Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени.
Отношение к t называют средним угловым ускорением . Угловое ускорение:
Угловое ускорение тела равно первой производной от угловой скорости по времени.
Перемещения S и скорости точек можно определить из соотношений:
S = ;
здесь R − радиус вращения.
.
Нормальное (центростремительное) и тангенциальное (вращательное) ускорения определим из соотношений:
, ;
,
Полное ускорение точки:
.
Модули скоростей и ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
Равнопеременное вращение тела
При равнопеременном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси: ε= const
Так как
После интегрирования с учетом начальных условий получим:
ω=ω0+ε t
φ =φ0 +ω0t+ε t2/2, здесь ω0 и φ0 − угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени при t=0.
Пример 1. Груз, опускаясь согласно уравнению (м), приводит посредством троса в движение барабан радиуса R = 0,2м (рис.11.10). Определить скорость и ускорение точки М барабана при t1= 2с.
Решение. Скорость груза равна скорости точки М барабана
Угловая скорость барабана:
.
Угловое ускорение .
При t1=2c: , ;
Нормальное ускорение:
,
Тангенциальное ускорение:
,
Полное ускорение:
.
Пример 2. Вал 1 с зубчатым колесом 1 при вращении делает n=300 об./мин. Колесо 1 находится в зацеплении с зубчатым колесом 2. Радиусы делительных окружностей колес составляют R1=10 см, R2=50 см. На валу 2 смонтирован барабан 3 радиуса R3= 20 см, который вращается вместе с зубчатым колесом 2. Найти скорость перемещения груза 4, подвешенного на тросе.
Решение. 1. Угловая скорость колеса 1:
ω1= n/ 30 = 10 с−1
2. Линейные скорости точек, колес 1, 2 в точках контакта А равны в любой момент времени:
vA=ω1R1=ω2R2 = 100 см/с
такую же скорость имеют точки А1, А2 .
3. Угловая скорость колеса 2 и барабана 3:
ω2= ω1R1 /R2= 2 с−1
4. Скорость перемещения груза 4, такую же скорость имеют точки на наружной поверхности барабана (например, т. А3):
v4=ω2R3= 40 см/с