- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат выражается следующей теоремой.
Th.11.2 |
Если то |
Доказательство.
Пусть . Через конец вектора точку проведем плоскости параллельные координатным плоскостям Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно (рис. 11.9). Очевидно
С другой стороны Значит,
|
Рис. 11.9 |
Но Теорема доказана .
Следствие. Если то
(11.5)
Доказательство вытекает из формулы длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде.
Def. Обозначим углы, которые образует вектор с координатными осями через соответственно. называются направляющими косинусами вектора
Из треугольника (рис. 11.9):
(11.6)
Аналогично получаем
(11.7)
Нетрудно увидеть, что
(11.8)
Скалярное произведение векторов
Def. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают или Т.е.
(11.9)
где угол между и
Из формулы (11.9) имеем:
(11.10)
Согласно (11.2)
Заменяя по формуле (11.10), получаем:
(11.11)
Соотношение (11.11) можно записать и в таком виде:
(11.12)
Свойства скалярного произведения векторов
1. (коммутативный закон) (11.13) 2. (11.14) 3. (дистрибутивный закон) (11.15) 4. (11.16) 5. Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда |
Доказательство.
Свойства 1, 2, 4, 5 вытекают непосредственно из определения. Докажем свойство 3. Согласно (11.12) и (11.4)
Что и требовалось доказать .
Th.11.3 |
Если и то (11.13) |
Доказательство.
Согласно (11.16) А поскольку взаимно перпендикулярные векторы, то
Получаем .
N. Векторы и образуют угол Найдите если а
Решение.
Упростим искомое выражение на основании свойств скалярного произведения.
Согласно свойству 4:
По определению скалярного произведения
Тогда,
Ответ.
Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
Def. Векторным произведением векторов и называется вектор определяемый следующим образом:
1)
2) образуют правую тройку векторов;
3) где угол между и
Свойства векторного произведения
1. (12.1) 2. (12.2) 3. (12.3) 4. (12.4) 5. (12.5) 6. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение есть нулевой вектор. 7. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и |
Доказательство.
1. Очевидно, что векторы и имеют одинаковые модули, коллинеарны и противоположно направлены, т.к. тройки и противоположной ориентации (рис. 12.1). Значит, .
2. Для утверждение очевидно, т.к. левая и правая часть соотношения (12.2) есть нулевой вектор.
Пусть Заметим, что Также (векторы и лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Кроме того, эти векторы имеют одинаковую длину. Действительно, |
Рис. 12.1 |
Учитывая, угол между векторами и равен углу между векторами и то Поэтому Аналогично свойство доказывается и для .
3. Свойство 3 является непосредственным следствием свойств 1 и 2.
4. Для доказательства этого свойства воспользуемся следующей леммой.
Lemma |
Пусть имеется два вектора и Обозначим проекцию вектора на плоскость , перпендикулярную вектору (рис. 12.2). Тогда |
Доказательство леммы.
Векторы и имеют равные модули. Действительно, где угол между и
|
Рис. 12.2 |
Выясним направленность этих векторов. Вектор лежит в плоскости , т.к Учитывая, что можем сделать вывод, что (теорема о трех перпендикулярах). Значит, и коллинеарны. Кроме того, тройки и имеют одинаковую ориентацию. Значит, и сонаправлены. Откуда заключаем, что .
Теперь докажем свойство 4. Соотношение (12.4) справедливо при Пусть Обозначим через и проекции векторов и на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 12.3). Построим Тогда векторы и получаются из векторов и соответственно поворотом на угол И, следовательно,
А так как, согласно доказанной лемме,
то .
5. Свойство 5 является непосредственным следствием свойств 1 и 4.
6. Свойство 6 непосредственно вытекает из определения векторного произведения. 7. Действительно, (рис. 12.3). |
Рис. 12.3 |
Th.12.1 |
(выражение векторного произведения через координаты сомножителей) Если и то (12.6) |
Доказательство.
Согласно свойству 6 векторного произведения По определению
Имеем
С другой стороны
Теорема доказана .
N. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и если где
Решение.
Упростим выражение основываясь на свойствах векторного произведения.
Вычислим , по формуле 12.6.
Значит,
Тогда
(кв. ед.)
Ответ. кв. ед.