- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке оси симметрии которого параллельны координатным осям и и полуоси соответсвтенно равны и Выберем новую систему координат с началом в точке и осями и параллельными соотвестветственно |
Рис. 17.8 |
осям и и одинаково с ними направленными (рис. 17.8).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:
.
Но т.к. и (известные из школьного курса формулы связи старых и новых координат при параллельном переносе), то в старой системе координат уравнение эллипса имеет вид:
(17.4)
Рис. 17.9 |
Рассуждая аналогично, получаем уравнение гиперболы с центром в точке действительной полуосью и мнимой полуосью
(17.5) |
И, наконец, параболы, изображенные на рис. 17.8-17.11 имеют соответствующие уравнения:
Рис. 17.8
|
Рис. 17.9 |
Рис. 17.10 |
Рис. 17.11 |
Поверхности второго порядка
Def. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, определяемое в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением второй степени:
(18.1)
После применения движения и, возможно, умножения уравнения на ненулевой коэффициент, уравнение поверхности в трехмерном пространстве приводится к одному из следующих видов:
1. (эллипсоид)
2. (мнимый эллипсоид)
3. (однополостной гиперболоид)
4. (двуполостной гиперболоид)
5. (конус)
6. (мнимый конус)
7. (эллиптический параболоид)
8. (гиперболический параболоид)
9. (эллиптический цилиндр)
10. (мнимый цилиндр)
11. (гиперболический цилиндр)
12. (параболический цилиндр)
13. (пара пересекающихся плоскостей)
14. (пара мнимых пересекающихся плоскостей)
15. (пара параллельных плоскостей)
16. (пара мнимых параллельны плоскостей)
17. (пара совпадающих плоскостей)
Эллипсоид
Def. Эллипсоидом назывется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
(18.2)
Исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями.
1. Очевидно, что эллипсоид пересекает оси координат в точках
Из уравнения (18.2) следует, что и т.е. эллипсоид представляет собой поверхность, заключенную в параллелепипеде Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, координатные оси – осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.
2. Рассмотрим сечение данного эллипсоида плоскостью Уравнение линии пересения имеет вид:
Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и
Аналогично устанавливаем, что пересечением эллипсоида плоскостью будет эллипс
с полуосями и а плоскостью эллипс
с полуосями и
3. Рассмотрим теперь линию пересечения эллипсоида с плоскостью параллельной плоскости Уравнение этой линии имеет вид:
или
(18.3)
При уравнение (18.3) задает эллипс с полуосями и При эллипсоид и эллипс не имеет общих точек. При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс).
Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями и также получаются эллипсы.
Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им, являются эллипсы (рис. 18.1). Def. Числа называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид превращается в сферу. |
Рис. 18.1 |