5.2. Багатофакторні індексні моделі
При вивченні функціональних зв’язків між показниками широко використовуються індексні моделі. Основою індексної моделі є мультиплікативний зв’язок між певною множиною показників; один з них розглядається як результат y, інші — як фактори хі:
y = х1 х2 х3 … хn .
Послідовність факторів у моделі не може бути довільною, вона визначається економічним змістом показників і методикою їх розрахунку. Кожний наступний фактор-множник розраховується на одиницю попереднього, а отже, добуток будь-якої кількості факторів є економічно змістовною величиною. Наприклад, прибутковість активів компанії y є функцією прибутковості продажу продукції x1 та оборотності мобільних активів z1, тобто y = x1z1. Оборотність мобільних активів z1, в свою чергу, є функцією оборотності матеріальних запасів x2 і частки матеріальних запасів у мобільних активах z2. Отже, y = x1 x2 z2.
Схематично послідовність розширення моделі можна представити так:
y = x1 z1 = x1 x2 z2 = x1 x2 x3 z3 і т. д.
Характерною рисою мультиплікативної моделі є взаємозв’язок факторів: чисельник розрахункової формули одного фактора є знаменником розрахункової формули наступного. Введення в ланцюгову схему нового фактора означає лише деталізацію функціонального зв’язку і не змінює його сутності. Ступінь деталізації залежить від мети дослідження.
При побудові індексної моделі функція у = x1 x2 x3 ... xm роз- глядається для двох періодів:
базисного у0 = х10 х20 х30 … хm0
і поточного у1 = х11 х21 х31 … хm1.
Абсолютну і відносну зміну показника-функції у можна розкласти за факторами-множниками xi. Оцінювання ступеня та абсолютного розміру впливу кожного з них на динаміку функції здійснюється в рамках індексної моделі, в якій відтворюються взаємозв’язки між показниками:
Іу = Іх1 Іх2 Іх3 … Ιхm .
При розрахунку частинного індексу Іхi необхідно елімінувати вплив інших включених у модель факторів. Задля цього всі фактори-множники, окрім хi, фіксуються на постійному рівні. Найчастіше фактори, розміщені в ланцюгу зліва від хi, фіксуються на рівні поточного періоду, а розміщені справа від хi — на рівні базисного періоду. Скажімо, в моделі у = x1 x2 x3 принцип послідовно-ланцюгового елімінування впливу фактора x2 реалізується таким чином:
Ιх2 = (х11 х21 х30) : (х11 х20 х30).
За такою ж схемою визначається абсолютний вплив його на у:
А2 = х11 (х21 – х20) х30.
Абсолютний вплив факторів можна визначити з використанням відповідних частинних індексів. При послідовному множенні (за ланцюговою схемою) базисного рівня показника-функції на індекси факторів визначаються розрахункові рівні, тобто такі рівні, які мав би показник у під впливом і-го фактора і при незмінному рівні решти факторів. Якщо базисний його рівень позначити у0, розрахунковий рівень для першого фактора — у, для другого — у і т. д., то порядок розрахунку абсолютного впливу і-го фактора Аi схематично можна представити так:
Методику побудови багатофакторної індексної моделі розглянемо на прикладі взаємозв’язку показника прибутковості капіталу з індикаторами фінансового стану та платоспроможності підприємства. Для окремої компанії (фірми, корпорації) прибутковість капіталу розраховується відношенням чистого прибутку до власного капіталу. Динаміку цього показника можна розкласти за такою множиною факторів:
а — чистий прибуток на одиницю валового обороту (реалізації продукції, послуг);
b — оборотність поточних активів;
с — поточна ліквідність;
d — частка поточних пасивів у залучених коштах (коефіцієнт заборгованості);
f — співвідношення залучених і власних коштів.
Взаємозв’язок між ними має вигляд:
.
Наприклад, прибутковість капіталу умовної фірми становила: в базисному періоді — 115,1%, у поточному — 129,0%, тобто прибутковість зросла на 13,9 процентного пункту, індекс прибутковості — 1,121. Індекси включених у модель факторів-множників і розрахунок внеску кожного з них в абсолютний приріст прибутковості капіталу наведено в табл. 5.1.
Таблиця 5.1
Фактор |
Iндекс фактора |
Розрахунковий рівень прибутковості |
Абсолютний внесок фактора в приріст прибутковості |
a |
1,057 |
121,7 |
+6,6 |
b |
0,986 |
120,0 |
–1,7 |
c |
1,012 |
121,4 |
+1,4 |
d |
1,025 |
124,4 |
+3,0 |
f |
1,037 |
129,0 |
+4,6 |
Разом |
Х |
Х |
+13,9 |
Абсолютний приріст прибутковості в розмірі 13,9 процентного пункту розкладено за факторами. Всі фактори, окрім оборотності поточних активів, мали позитивний вплив на динаміку прибутковості. З-поміж них найвагоміший вплив фактора а — чистого прибутку на одиницю валового обороту, на другому місці фактор f — співвідношення власних і залучених коштів, на третьому — фактор d — коефіцієнт заборгованості.
Систему взаємозв’язаних показників можна представити у матричному вигляді. На головній діагоналі матриці за певною стратегією розміщуються m абсолютних величин qi, на основі яких можна визначити m(m – 1) відносних величин , де i ≠ j. Очевидно, що недіагональні елементи, симетрично розташовані щодо головної діагоналі, є оберненими одна до одної величинами, тобто . Система взаємозв’язаних абсолютних і відносних величин утворює квадратну матрицю. Аналогічно cкладається матриця індексів.
У табл. 5.2 наведено індексно-матричну модель економічного розвитку умовної країни за певний період. На головній діагоналі розміщено індекси макропоказників (D — національний дохід, M — матеріальні витрати, F — виробничі фонди, T — чисельність зайнятих працівників). Вони ранжовані за економічною нормаллю, згідно з якою темпи зростання кінцевих результатів мають бути вищими за темпи зростання витрат і ресурсів, тобто
ID > IM > IF > IT .
Таблиця 5.2
Показник нормалі |
D |
M |
F |
T |
D |
1,142 |
|
|
|
M |
Im = 1,005 |
1,136 |
|
|
F |
If = 0,935 |
In = 0,930 |
1,222 |
|
T |
Iq = 1,171 |
Il = 1,165 |
Ir = 1,253 |
0,975 |
За даними таблиці економічна нормаль порушена у двох ланках: IM < IF та ID < IF. Значення індексів свідчать про фондоємкий трудозберігаючий тип відтворення. Піддіагональні елементи матриці — це результат бінарних відношень між індексами, на перетині яких знаходиться відповідний елемент. За змістом вони характеризують динаміку показників інтенсивності та ефективності економіки: Iq — продуктивності праці, If — фондовіддачі, Im — матеріаловіддачі, Ir — фондоозброєності праці, In — співвідношення матеріальних витрат і вартості основних фондів. Аналізуючи співвідношення цих індексів, можна виявити диспропорції у використанні живої та уречевленої праці.
В індексно-матричній моделі ранжування показників і ступінь їх деталізації цілковито залежить від економічної стратегії та мети дослідження.