Министерство образования Республики Казахстан

Казахско-Турецкий лицей города Астаны

Выполнили: Зейнолла Айбар

Сыздыков Ербол- 10 класс

Тема: Эйлерова характеристика и числа Бетти

Секция: Математика

Научный руководитель:

Научный консультант:

Руководитель:

г. Астана 2012

Содержание:

1. Титульный лист

2. Рецензия

3. Отзыв

4. Аннотация

5. Аннотация (на казахском)

6. Аннотация (на английском)

7. Содержание

8. Введение................................................................................1

Исследовательская часть

1. Эйлерова характеристика для плоскости

2. Эйлерова характеристика многоугольников

3. Формула Эйлера для выпуклых многогранников

4. Симплекс

5. Теория групп

6. Комплекс

7. Числа Бетти для Комплекса

8. Формула Эйлера-Пуанкаре

9. Вычисление чисел Бетти для некоторых комплексов

Заключение

Список использованной литературы

Аннотация

Главная цель научной работы исследовать инварианты различных геометрических объектов, а именно эйлерову характеристику.

Гипотеза : В данном проекте доказать формулу Эйлера-Пуанкаре для произвольных комплексов. Ввести и изучить группы Бетти и их инварианты, а именно числа Бетти. При исследовании применять методы теории групп и комбинаторной топологии.

Процедура исследования: Первая часть, геометрическая, достаточно проста для понимания, где методами движущейся прямой и движущейся плоскости считается эйлерова характеристика. Во второй, более сложной, по нашему мнению, применяется теорема о структуре конечнопорожденных абелевых групп.

Выводы: Нашли отношение между эйлеровой характеристикой и числами Бетти. С помощью фактор группы подсчитали числа Бетти для некоторых объектов. Вообще замечательный факт состоит в том, что если задана какая-то фигура (из некоторого класса), то, как бы мы ни разбивали ее на части (грани, ребра и вершины), определенным образом примыкающие друг к другу, знакопеременная сумма В-Р+Г, называемая эйлеровой характеристикой фигуры, сохраняет постоянное значение.

Области практического использования результатов Числа Бетти используются во всех приложениях, где определяются комплексы, например в физике, молекулярной химии и биологии В прикладной математике есть целый раздел называемый биогеометрия, созданная ведущими американскими математиками. С помощью триангуляции Вороного строится комплекс Делоне и считаются геометрические инварианты числа Бетти молекул протеина. С помощью чисел Бетти можно определить можно ли химическим путем получить из одного протеина другой. Также числа Бетти помогают в решении ряда проблем генетики, а именно строения ДНК.

Нашей дальнейшей целью является изучение основ биогеометрии, таких как комплекс Делоне и диаграммы Вороного и возможное применение данной теории в нашей Республике Казахстан.

Аннотация

Ғылыми жұмыстың негізгі мақсаты әртүрлі геометриялық объекттердің инварианттарын, әсіресе Эйлер формулаларының мінездемесін зерттеу.

Гипотеза: Бұл жобада еркін комплекстер үшін Эйлер-Пуанкаре формуласын дәлелдеу. Бетти тобын және оның инварианттарын, әсіресе Бетти сандарын зерттеп, енгізу. Зерттеу барысында топтар теориясының және комбинаторлық топологияның әдістерін қолдану.

Зерттеу барысы: Бірінші бөлім- геометриялық бөлім болып табылады. Бұл жерде қозғалатын түзу және жазықтық әдістері ретінде Эйлер формуласының мінездемесі алынғандықтан түсінуге оңай болып келеді. Біздін ойымызша, књрделі болып табылатын, екінші бљлімде шекті туындайтын абель тобыныћ құрылысы туралы теоремасы қолданылады.

Қорытынды: Эйлер формуласыныћ мінездемесі мен Бетти сандарынын арасындағы катынасты таптық. Фактор тобын колдана келіп, кейбір объектілер њшін Бетти сандарын есептедік. Алайда, тамаша мђлімет мынада: егер кез-келген бір топтан бір пішін берілсе, жђне біз оны кандай бљлшектерге (қырга, кабыргаға жђне тљбеге) белгілі бір жағдайда бір-біріне киылысатын етіп бљлсек те, эйлерлік пішіндер мінездемесі деп аталатын В- Р+Г қосындысы нђтижесі љз тұрақты мђнін сақтайды.

Нђтижелердін тђжірибелік пайдалану салалары: Бетти сандары комплекстер анықталатын барлық салаларда пайдаланылады. Мысалы: физикада, молекуляр химия мен биологияда. Американ ғалымдары тарапынан табылган жаћа биогеометрия деп аталатын њлкен бір тарау колданбалы математикада орын алады. Вороной њшбњрыштауыныћ кљмегімен Делоне комплексі құрылады жне протеиндегі молекулардын Бетти сандарыныћ геометриялык инварианттары

саналады. Бетти сандары арқылы химиялық жолмен бір протеиннен екінші протеинніћ жасалынып жасалынбайтынын аныктау болады. Сонымен катар Бетти сандары генетиканыћ кейбір проблемаларын шешуде, ђсіресе ДНК құрылысында кљмегі орасан зор.

Біздіћ келешектегі максатымыз биогеометрияныћ негізі болып есептелетін комплекс Делоне жэне Вороной диаграммаларын зерттеп, осы теориянын Қазақстан Республикасында колдану мњмкіншіліктерін қарастыру.

Abstract

The main purpose of the scientific work is to research invariants of different geometric objects, focusing on Euler's characteristic.

Hypothesize: The aim of the project is to prove the formula of Euler- Puancare for constant complex and to study the Beta Groups and their invariants, namely Beta numbers. To use the methods of group theory and combinatorial topology while the researching.

Procedure: First geometrical part is easy to understand where Euler's characteristic is found by straight movable line and plane. The second part is more difficult. In our opinion there is used group theory.

Conclusions: We found the relation between Euler's characteristic and Beta numbers. By using factor of group we counted Beta numbers for some objects. The most interesting part of this project is finding the Euler's characteristic by formula V-E+F. And this formula is permanently used for any kinds of geometrical shapes.

Regions of practical use of Beta numbers are used in all applications, where the Complex is being defined. For example: in physics, in molecular chemistry and biology. In applied mathematics there is a part named biogeometry, which was invented by famous American mathematicians. The complex Delone is being formed by the Voronoi triangulation and also geometrical invariants for Beta numbers of protein are counted.

The Beta numbers define if one protein can be formed by another chemically.

Also Beta numbers play important role in solving series of genetic problems, namely in formation of DNA.

Our next aim is to leam the base of biogeometry, such as complex Delone and Voronoi diagrams, possible using of given theory in our country Kazakhstan.

Эйлерова характеристика и числа Бетти.

Введение

Крупнейший математик 18 века Леонард Эйлер (1707-1783) родился в швейцарском городе Базеле. С двадцатилетнего возраста он жил в Петербурге, в Берлине потом снова в Петербурге. Эйлер сыграл выдающуюся роль в развитии математики, механики, физики и техники. Он был пионером научных исследований по математики в России.

В 1758 году Л. Эйлер опубликовал в Записках Петербургской академии наук доказательство формулы В-Р+Г=2, связывающее число вершин В, число ребер Р и число граней Г произвольного выпуклого многогранника. Доказательство этой формулы и ряда других формул для плоскости и пространства приведено в первой части данной работы.

Эйлерова характеристика играет важную роль в разделе математики, называемой комбинаторной топологией. Поэтому вторая часть работы посвящена введению чисел Бетти и доказательству формулы Эйлера-Пуанкаре. Мы считаем вторая часть намного сложнее, так как в ней применяется аппарат теории групп и симплициальной геометрии. Мы разобрались с основами теории групп и используем две фундаментальные теоремы: теорема о структуре конечнопорожденных абелевых групп и теория о ранге группы, подгруппы и факторгруппы. Также мы вводим понятие симплекса и комплекса и используя оператор взятия границы.

С помощью данной теории вводим числа Бетти и доказываем топлогнческую инвариантность эйлеровой характеристики.

В 90-х годах в американских университетах Дьюка и Стэнфор-

да математики создали новую отрасль, на стыке химии, алгебры и биологии, называемую биогеометрией. С помощью триангуляции Вороного строится комплекс Делоне и считаются геометрические инварианты числа Бетти молекул протеина. С помощью чисел Бетти можно определить можно ли химическим путем получить из одного протеина другой. Этот факт показывает новизну нашего проекта.

Числа Бетти и эйлерова характеристика являются инвариантами комплексов. Актуальность проекта состоит в том. что везде, где можно моделировать практическую задачу при помощи комплексов, подсчитав числа Бетти и эйлерову характеристику, можно определить возможность получения из одного объекта другой объект. То есть числа Бетти и эйлерова характеристика имеют практическое важное применение не только для чисто математических задач, решаемых с помощью моделирования комплексами.

Эйлерова характеристика и числа Бетти.

Эйлерова характеристика для плоскости.

Каждое семейство прямых разбивает плоскость на части, называемые гранями разбиения; их число будем обозначать Г. Вершинами разбиения называются точки пересечения данных прямых, а ребрами разбиения - части, на которые прямые делятся вершинами.

Теорема [1,стр6]

В - Р + Г = 1, где В - число вершин, Р - число ребер

Доказательство: Пусть L1....,L„-заданные прямые, а А, ... As-вершины разбиения. Проведем через каждую пару вершин вспомогательную прямую;

обозначим эти прямые через М ,, ,Мк.. Среди них находятся и все заданные

прямые L,, L„. Проведем вспомогательную прямую L0, не параллельную

ни одной из прямых М ,, ,М, .

Будем предполагать, что прямая L0 расположена, во- первых,

горизонтально, во-вторых, "ниже" всех вершин А ......... А в. Отсюда следует, что для каждой пары вершин А, и А; их расстояние от прямой L0 различны. Будем предполагать, что вершины занумерованы в порядке возрастания высоты, т.е. А, - самая нижняя. А, лежит выше чем А,, но ниже чем А , и т.д., на конец A s - самая верхняя вершина.

"Движущаяся" прямая будет располагаться горизонтально, совпадая в своем начальном положении с прямой L0, и поднимаясь затем от нее вверх по плоскости. Прямую L можно использовать для подсчета ребер разбиения: так-

как она пересекается со всеми прямыми L,, ,L„, и притом с каждой из них

в "своей" отдельной точке, то в начальном положении она встречает п ребер. Теперь заставим прямую L подниматься вверх по плоскости параллельно самой себе. До тех пор, пока она не встретит самую нижнюю вершину А, , число пересекаемых ее ребер останется неизменным и равным п . После перехода через А, это число изменится: появятся новые ребра, число

которых а, (число проходящих через А, прямых L,, L.) вершины А, .

По этому общее число ребер, встреченных к этому моменту прямой L. станет равным п+ а, и останется таким до встречи со следующей вершины А . . Если вершина А, имеет кратность а,, то после перехода через А, число ребер, уже встреченных к этому моменту, снова увеличится и станет п+ а,+ а. и т.д.

Наконец , после перехода L через последнюю, самую верхнюю вершину

А, кратности а„, это число станет равным п+ а , + а,+ + а„

Итак, общее число ребер разбиения равно

в

Р=п+а, + аг+ + а,= п+£а,

/-І

Число граней разбиения найдем следующим образом. В начальном

положении прямая L делится прямыми L L . на п+1 частей; каждая из

этих частей лежит в своей, ей соответствующей грани разбиения и поэтому "засчитывает" эту грань. Значит прямая L в начальном положении встречает (п+1) граней, и это число не меняется, пока она не поднимается до А, . После прохождения через А, , появляются новые ребра в числе а, . Ясно, что число новых граней, встреченных при этом прямой L , будет равно (а, -1). Поэтому общее число граней, встреченных к этому моменту, будет равно 1+ n + а, -1. После прохождения через А , это общее число увеличивается на а,-1 и т.д.; наконец, когда L пересечет последнюю, самую верхнюю, вершину А 8, общее число граней ещё увеличится на а в -1.

в

Поэтому Г= п+1+(а, -1)+(а,-1)+ +(а8-1)= 1+п-В+£а,

В-Р+Г= В - п +1+ п-В+Х^ =1

.-I 1-1