§2 Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация

2.1 Основные определения и теоремы. Дадим одно из определений непрерывной функции, наиболее удобное в применении при исследовании функции на непрерывность. Для этого нам понадобится понятие одностороннего предела.

Определение 2.1. Величина А, которая является либо числом, либо символом +∞(-∞) называется правосторонним (левосторонним) пределом или пределом справа (слева) функции при , если . Обозначается .

Между односторонними пределами и обычным пределом существует взаимосвязь:

Теорема 2.1. Для того чтобы существовал обычный предел функции при ,равный А, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела, одинаковых между собой и равных А: .

Определение 2.1. Пусть , -точка сгущения множества Х. Функция называется непрерывной в точке , если

1) ;

2) существуют конечные односторонние пределы .

При исследовании функции на непрерывность используют следующие две теоремы:

Теорема 2.2 об арифметических операциях с непрерывными функциями. Если функции непрерывны в точке , то функции и последняя при условии, что непрерывны в точке .

Теорема 2.3 о непрерывности сложной функции. Пусть , -точка сгущения Х, . Функция , -точка сгущении , . Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то функция непрерывна в точке .

Утверждение 2.1. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Замечание. К элементарным функциям относятся функции ; и любые функции, полученные из этих путем конечного числа алгебраических действий и суперпозиций.

Итак, если функция удовлетворяет условиям определения 2.1, то точка называется для функции точкой непрерывности. Если хотя бы одно из условий этого определения нарушено, то точка будет являться точкой разрыва.

2.2 Классификация точек разрыва.

По своему характеру точки разрыва делятся на три класса.

1) Если существуют конечные односторонние пределы, причем , то точка называется точкой устранимого разрыва.

2) Если существуют конечные односторонние пределы, причем , то точка называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода.

3) Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности либо не существует, то точка называется точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Пример 2.1. Определить на каком множестве функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать:

Решение. Для того, чтобы знать, где функция непрерывна, нужно, по крайней мере, знать, где она определена. Дробь определена, когда определен ее числитель, знаменатель, и когда знаменатель отличен от нуля. Тригонометрическая функция определена при любых , многочлен, стоящий в знаменателе также определен всюду на . Поэтому дробь будет определена в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля: . Следовательно, . Тогда область определения нашей функции . Числитель представляет собой сложную функцию, составленную из элементарных функций и , непрерывных на . Поэтому числитель непрерывен на по теореме о непрерывности сложной функции. Знаменатель также непрерывен на как сумма непрерывных на функций. Тогда вся функция непрерывна как частное непрерывных функций в тех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть на множестве .

Итак, все точки, вошедшие в область определения, являются для нашей функции точками непрерывности. В область определения не вошли точки . Они являются точками сгущения области определения, но сами ей не принадлежат. Следовательно, эти точки являются точками разрыва функции , так как для них нарушается 1-ое условие определения 1. Установим, к какому классу относятся эти точки. Из классификации видно, что принадлежность точки к тому или иному классу зависит от существования и величин односторонних пределов при , где - точка разрыва.

Исследуем точку . Найдем односторонние пределы функции при и .

При вычислении этого предела , мы использовали в числителе переход к эквивалентным (это можно было сделать, так как вычисляем предел дроби и аргумент синуса при . Метод вычисления этого предела не зависел от того, с какой стороны приближается к нулю. Поэтому левосторонний предел будет вычисляться аналогично, и получим . Итак . Следовательно, согласно классификации, точка является точкой устранимого разрыва.

Теперь исследуем точку . Найдем односторонние пределы функции при и . При числитель дроби (это константа, причем , так как на числовой окружности точка, соответствующая числу -2 лежит в третьей четверти). Знаменатель при , причем так как , то . Тогда (числитель и знаменатель – отрицательные, значит результат положительный, и ). Тогда мы попадаем в ситуацию, описанную в третьем пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Пример 2.2. Определить на каком множестве функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать: .

Решение. Начнем исследование, как и в предыдущем примере, с нахождения области определения. Числитель и знаменатель в отдельности определены всюду на . Поэтому дробь будет определена в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля: . Следовательно, . Тогда область определения нашей функции . Функции, стоящие в числителе и знаменателе являются непрерывными на . Следовательно, исходная функция непрерывна как частное непрерывных функций на множестве, где знаменатель не обращается в ноль, то есть в .

Точки, не вошедшие в область определения , являются точками сгущения , но ей не принадлежат, следовательно, являются точками разрыва. Чтобы установить какого они типа, найдем односторонние пределы. При числитель , знаменатель , причем, так как , то . Следовательно, . Тогда мы попадаем в ситуацию, описанную в третьем пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Если (т.е. и ), то . И, значит, . Тогда

Если (т.е. и ), то . И, значит, . Тогда

Так как , то мы попадаем в ситуацию, описанную во втором пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 1-го рода.