Министерство образования РФ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.В.Абанин, Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко

РЯДЫ

Методические указания к лабораторным занятиям по математическому анализу

для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ

Ростов-2на-Дону

2004 г.

Данные методические указания предназначены для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ. Содержат необходимый теоретический материал и примеры практического характера. Могут быть использованы преподавателями на лабораторных занятиях.

Методические указания печатаются в соответствии с решением кафедры математического анализа РГУ, протокол № 4 от 2003 года.

1 Числовые ряды и их4сходимость.

Пусть задана числовая последовательность {an}. Символ

	· · ·		· · ·		∞
a1 + a2 +		+ an +		(или короче	nP	an) называется числовым рядом.
					=1

Сумму n первых членов ряда (n N) : Sn = a1 + a2 + · · · + an, называют n-ной частичной суммой ряда. Если последовательность {Sn} сходится, то

ряд называют сходящимся, а число S = lim Sn — его суммой, при этом
пишут: S =	∞	an. В противном случае ряд называют расходящимся.
	nP
	=1

1.0.1. Используя определение сходящегося (расходящегося) ряда изучите сходимость ряда:

1)

∞

(−1)n−1

,

nX

−

1

=1

2n

∞

3)

(an − an−1) ,

nX

=1

∞

1

nX

,

n(n + 1)

5)

=1

,

7)

∞ ln 1 + n1

nX

=1

9)

∞ tg n + 1

tg n + 2

,

nX

n

−

n + 1

=1

∞

1

1

11)

nX

− arcsin

−

) ,

(arcsin

2n

2n

1

=1

∞

3

( 1)n−1

13)

+

−

3n 1

,

2n

1

2

nX

−

·

−

=1

15)

∞

2n − 1

,

nX

2n

=1

∞

1

1

2)

nX

−

,

=1

2n

3n

4)

∞

sin

1

sin

1

,

nX

n + 1 −

n

=1

∞ √

√

6)

nX

( n + 1 −

n) ,

=1

∞

1

8)

nX

,

(3n

−

2)(3n + 1)

=1

∞

22n−1

nX

−

10)

,

=1

1

2

∞ √

√

√

nX

n + 2 − 2 n + 1 + n ,

12)

=1

∞

1

nX

,

14)

ln(1 − n2 )

=1

∞

1

3

nX

16)

sin

2n · cos 2n .

=1

5

Имеются различные признаки, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость изучаемого ряда. Однако следует помнить, что исследование ряда целесообразно начинать (если это не очень трудно) с проверки необходимого признака сходимости.

∞

Пример 1.1. Исследовать сходимость ряда P sin(αn), если α 6= πk,

n=1

k Z.

B Докажем, что общий член ряда sin αn 9 0 при n → ∞. Действительно, если бы sin(αn) → 0, то и sin α(n + 1) → 0 при n → ∞.

Но sin α(n + 1) = cos α sin αn + sin α cos αn. Поэтому cos αn → 0 при n → ∞,

чего быть не может, поскольку sin2 αn + cos2 αn = 1. C

1.0.2. Пользуясь критерием Коши или необходимым признаком сходимости ряда, исследовать сходимость ряда:

1)

∞

cos nx

,

nX

n

=1

3

3)

∞

cos nx − cos(n + 1)x,

nX

n

=1

∞

1

5)

nX q

,

=1

n(n + 1)

7)

∞

n − 1

n,

nX

n + 1

=1

∞

1

1 1 1 1

9)

nX

1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + · · · +

=1

2)

∞

sin n

,

nX

n(n + 1)

=1

4)

∞

cos an

,

nX

n2

=1

u

n=1 u

5n + 1 ·

n

+ 1

6)

X t

3n5 + 4

arcsin

1

,

∞ v

∞

n3 + 1

1

nX

· arcsin n2 + 1,

8)

=1 2n + 3

1

+

1

−

1

+ · · ·.

3n − 2

3n − 1

3n

1.1 Сходимость положительных6 рядов.

∞

При изучении положительных рядов P an, где an ≥ 0, n N, часто используются следующие неравенства: n=1

1)1 < ln n < nα (α > 0), n > n0;

2)an > nα, если a > 1, α R, n > n0;

3)en < n! < nn или, что то же самое, n < ln(n!) < n ln n.

Помимо необходимого признака сходимости положительного ряда, часто используются признак Маклорена-Коши и признаки сравнения (см. [1], стр. 506-527; [2] стр. 262-266, стр. 281-285).

1.1.1. Исследовать сходимость следующих рядов:

1)

∞

1

,

nX

n ln n

=2

3)

∞

1

,

nX

√

2

n ln

n

=2

5)

∞

5 cos2 nπ3

,

nX

−

1)n

=1

n2 + (

∞

ln2 n

1

nX

7)

√n + 1 sin n,

=1

9)

∞

5 + 3(−1)n

,

nX

2n

=1

X

∞ ln n + sin n

11) n=1 n2 − 2 ln2 n,

X

∞ (3n + n5)

13) √ ,

n=1 e n

∞1

2)X √ , n=1 n n

∞

ln n

1

nX

4)

=2

√n + 2 sin √n,

∞

1

nX

n ln n(ln ln n)p ,

6)

=3

8)

∞ sin2 n

,

=1

n2 ln n

nX

10)

∞

arctg n

,

nX

n2 + ln n

=1

∞

n + 1

12)

nX

,

3

=1

n2(4 + 3 sin nπ )

nX

1

14)

∞

2n sin

,

n

=1

3

15)

∞

sin n1 cos n1

,

nX

lnα n + 5

=1

∞ 1 − cos

1

√

n

17)

nX

,

4n + ln n

=1

19)

∞

1

,

nX

5ln n

=1

∞ √

− √

,

n + 1

21)

n

nX

nα

=1

∞

arctg10 n

nX

23)

√3

,

=1

n

25)

∞

1

tg

n

,

nX

nα

1

=1

2n + 1

√

∞

n

27)

√3

ln n· 2√3

,

nX

3

3

−

n + 1 +

n

1

=1

∞ ln 1 +

cos2 √

29)

n

,

nX

n√n

=1

∞

31)

n

=2

√ln n,

nX

1

33)

∞

2sin n − 1

,

=1

n ln n

nX

7

ln n

∞

ln(cos √

)

n

16)

nX

n + sin

2

n

=1

√

,

∞

n15 + 1

nX

18)

2√

+ n5 ,

=1

n

∞ arcsin

1

√

20)

n

,

nX

nα

−

1

=2

∞

1

22)

nX

(α ≥ 0),

sin nα

=1

1

√

− 1

,

24)

∞ sin10 n

2

n

nX

·

n + 1

=1

∞ ln cos

1

√

26)

n

,

nX

ln10 n

=2

∞

2n+1

28)

sin 3n−1

,

nX

n4 ln n

=2

30)

∞

√

ln

1

cos

1α

,

n

nX

−

n

=1

32)

∞ (n1/n − 1),

nX

=1

∞ cos

1

− 1

√

.

34)

n

nX

lnα n

=2

Часто применение предыдущих признаков затруднительно и более удобно применять признаки Коши и Даламбера (см. [1], стр. 218-221, или

8 [2], стр. 270-272). Отметим, что признак Коши "сильнее"признака Далам-

бера (он применим к более широкому классу рядов). Именно, можно пока-

зать, что если существует

lim (an+1/an) = q, то существует lim

√n

= q.

an

n→∞

n→∞

Обозначим Kn =

√n

, Dn

=

an+1

.

an

an

∞

1

nX

−

Пример 1.2. Исследовать сходимость ряда

.

=1

(3 + (

1) )

B

1

,

если n = 2k,

1

,

если n = 2k,

2k

4

4

an

=

= Kn =

=

1

1

,

если n = 2k

−

1,

,

если n = 2k

−

1,

2k

1

2

2

−

lim

Kn = 21 < 1 и ряд сходится согласно признаку Коши.

В то же время признак Даламбера не позволяет сделать определённого

вывода о сходимости изучаемого ряда, так как

1

D2k−1 =

, D2k = 22k−1, а значит lim Dn = 0, lim Dn = +∞.

C

22k+1

1.1.2. С помощью признаков Даламбера и Коши исследуйте сходимость

следующих рядов:

1)

∞

n!

,

2)

∞

n

,

nX

X

(2n)!

3n

=1

n=1

3)

∞

n!

,

4)

∞

2nn!

,

X

nX

2n2

(2n)!

n=1

=1

5)

∞

n

2n−1

6)

∞

nn! ,

,

X

nX

n

n=1

3n + 1

=1

∞

(√

+ (−1)n)n

,

∞

7)

2

8)

(2n)!!

,

X

nX

n3

·

2n

nn

n=1

=1

9)

∞

3nn!

,

9

10)

∞

(2 + (−1)n)n

,

X

nX

nn

4n

=1

n=1

∞

2 + ( 1)n

∞

ln n

11)

X

−

,

12)

nX

,

n=1

4n

=2

3n + 1

13)

∞ n

3n + 2n

,

14)

∞

sin n1

,

n

n

X

n

nX

5 + (

−

1)

3

=1

n=1

nX

1

X

−

15)

∞ arcsin

n

,

16)

∞ sin5

n

,

=1

2

+ n

n=1

e

1

17)

∞

n!

,

18)

∞

2ln n

,

X

nX

lnn n

3n + 1

n=2

=1

∞

ln100 n

∞

(√

+ 2)n

2

19)

X

,

20)

nX

n

,

(1 + 1 )n2

n=1

n!

=1

sin2 n

1

− 1)2

21)

∞

,

22)

∞

(2

n2

,

nX

X

4n

2n

−

1

=1

n=1

23)

∞

(2 +nsin nπ4 )n ,

24)

∞

n

2n

1

−

,

X

nX

5 ln n

2n + 1

n=2

=1

2ln n

n+1

25)

∞

(a > 0),

26)

∞

2 n

− 2

,

nX

an + 1

X

3n

−

1

=2

n=1

∞

1

∞

(2n + 1)!!

X

nX

·

· · · · ·

27)

√n arctg n,

28)

4

(3n + 1),

n=1

=1 1

29)

∞

2· 5· · · · · (3n + 2)

,

30)

∞

arctg(n2 − n)

nX

·

n!

X

3n + n

=1

2n

n=1

10

(√

31)

∞

3· 6· · · · · (3n)

arcsin

1

,

32)

∞

2)n − 1

,

X

nX

n!

5n

lnn n

−

1

n=2

=2

∞

√

√

√

√

√

√

∞

nn

3

5

2n+1

33)

nX

2 −

2)( 2 −

2) · · · (

2 − 2),

34)

X

=1(

n=1 n!(2, 7)n+1 .

Приведём ещё один способ исследования сходимости числовых рядов, основанный на применении формулы Тейлора. Для того, чтобы им пользоваться, следует вспомнить разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x) и (1 + x)α в окрестности точки x = 0 (см. [1], стр. 192-195, или [3], стр. 251-254).

					nX		−
Пример 1.3. Исследовать сходимость ряда					∞ 1				ln n 2n.
					=1
B Данный ряд положителен и
an = 1	−	ln n	2n = exp	2n ln 1		−		ln n		.
		n							n

Так как lim ln n = 0, то по формуле Тейлора для функции ln(1+x) получаем при n → ∞ :n

ln

1

ln n

=

ln n

1

ln2 n

+ o

ln2 n

=

− n

− n

− 2 n

n

an

= exp

2 ln n

−

ln2 n

+ o

ln2 n

=

2

−

n

n

ln2 n

+ o

ln2 n

=

1

e− n

n

= an

1

, n

→ ∞

2

2

n

n

ln2 n

(здесь мы воспользовались тем, что lim

= 0 и, тем более,

n

ln2 n

lim o = 0). Согласно признаку сравнения исходный ряд сходится. C n2

11

∞

1

1

Пример 1.4. Исследовать сходимость ряда

nX

√n − 1

− sin

√

).

(e

n

=1

B

В данном примере сразу трудно сказать является ли данный ряд

положительным. Поскольку lim

1

= 0, то, используя формулу Тейлора

√

n

для функций ex и sin x, получаем при n → ∞ :

an

= 1 +

1

+

1

+ o

1

1

1

+ o

1

=

1

+ o

1

1

.

2n

√n 2n

n −

− √n

n

n

2n

Отсюда следует неотрицательность членов исследуемого ряда, начиная с некоторого номера (покажите!), и его расходимость в силу признака сравнения. C

1.1.3. С помощью формулы Тейлора исследуйте сходимость рядов:

∞

1

1

nX

1)

√

− sin √

,

=1

n

n

3)

∞ e

1 + 1 n ,

nX

−

=1

n

∞

1

n + 1

5)

nX

,

sin n − ln

n

=1

7)

∞

3n − 2n

,

nX

1

1

=1

9)

∞ π22

+ cos

π

1 ,

nX

2n

n −

=1

1

∞ e

√4

1

1

,

11)

n

1

nX

−

− √n

−

2√n

=1

∞

ln n

nX

,

2)

=1

nn2+1 − 1

4)

∞

1

−

ln

1 +

1

,

4

4

nX

√n

√n

=1

v

6)

∞

1

uln

n + 1

,

√n

n=1

− u

n

X

t

∞

4

8) (√n + 1 −

√n2 + n + 1),

nX

=1

∞ cos n1 − e−

1

n3

10)

,

2n2

nX

=1

∞

1

1

n + 1

12)

nX

−

,

en

sin n

n2

=1

13) ∞ n

n2 ln(1 +

1

) ,

12

14)

∞

1 − n sin

1

.

n

nX

1

X

−

n

n sin

n

n=1

=1

∞

an сходится, если

1.1.4. Найти α, при которых ряд

nP

=1

1) an =

1

−

n sin

1

α,

2) an

= e−

1

−

cos

1

α,

2n2

n

α

n

3) an =

ln n + ln sin

1

,

4) an

= (√

√

)α,

n + 1

n

n

−

1

(arctg

1 α

n

)

5) an =

,

6) an =

.

n ln2(1 + nα)

ln(1 + n + n2)

1.1.5. Для отработки навыков исследования положительных рядов рекомендуем решить следующие примеры различной степени трудности:

∞√

1)X n n + 1,

n=1

∞

1

3)

nX

=1 ln100 n + 3sin n ,

∞

√

5n + 3 n + 1

5)

nX

,

=1 4(√n + 1)√n + 1

n+1

√

− 2

,

7)

∞

2

n

nX

ln n

=2

9)

∞

ln(n + 1) − ln n

,

nX

n + ln n

=1

11)

∞

arctg15 n

,

nX

ln n

=2

		∞					1
	2)	nX q									,
		=1			3n(3n + 1)
	4)	∞		ln n				,
		nX
			2n + n
		=2
		∞				n
		nX
	6)		3	n		−	n ,
		=1					2
				n+1
	8)	∞	2 n − 2							,
		nX
					ln2 n
		=2

∞ sin n−1

10) X n ,

n=2 n3 ln n

∞sin2 1

12)X √ ln n ,

n=2 n + 2

arcsin

1

∞

√

13)

n

,

nX

(3n + 1) ln n

=2

∞

arctg ln n

15)

nX

n

,

n

−

n 1

2

2

−

=1

∞

2 + sin n

nX

17)

√n3 + ln n,

=1

∞

cos100 n

nX

19)

n√n ,

=1

∞

1

21)

nX

(nn2 − 1),

=1

∞

ln10 n

√

n

23)

nX

ln n,

−

√n

=2 3n

∞

1

4n + 2n

25)

nX

=2 ln n· 5n + 5n,

27)

∞

2n − 1

,

nX

lnn n

−

1

=2

∞

√

1

10

nX

29)

n(1 − cos nα ),

=1

∞ √3

− √3

,

31)

n + 1

n − 1

nX

nα

=1

∞

n2

nX

33)

e√

,

=1

n

13

∞

n

14)

nX

√ln n,

=2

∞

3n sin n1

16)

nX

=1 n + √n,

∞

1

18)

nX

arcsin

· ln n,

=2

n

∞

1

20)

nX

ln(1 +

2√

)· √n n,

=1

n

∞

3n + 1

1

22)

nX

=1 2n + 3 sin √n,

24)

∞

πn

ln n,

=2

n!

nX

26)

∞ ln 1 +

sin2 n

,

nX

n√n

=1

28)

∞

√

ln(1 +

ln n

),

n

nX

n2

=2

∞

2n

nX

30)

nα + n,

=2

∞ √

+ √

n + 1

n

32)

nX

−

,

=1

en

ln n

∞

sin2 √4

n

nX

−

34)

√n3

+ 1

√n,

=1

35)

∞

en+1 − 1 ,

nX

√

n

=1

∞ v

37)

sin

n + 1

,

u

n(n + 2)

nX u

=1

t

∞

√

√3

3

39)

nX

( n + 1 −

n),

=1

∞ √3

n4 + ln n

41)

nX

−

,

=1

n6 + 2 n

43)

∞

ln2(5n + 1)

,

nX

n5

+ 1

=1

45)

∞

n100 − 1

,

nX

=1 2√n+1

47)

∞ 1

ln n n,

nX

−

n

=1

nX

1

49)

∞

ln−4 sin

,

=1

n

51)

∞

n + 1

,

nX

n4

−

ln n

=1

∞

n2 ln n

nX

53)

7

n

−

n ,

=1

5

∞arctg5 n

55)X 2√n + 1,n=1

14

∞

36)

2− ln n+1,

nX

=1

38)

∞ ln

n3 + 2

,

nX

n2 + 1

=1

∞ √3

n4

40)

X

,

n=1

∞

ln(2n + 5)

42)

nX

,

√n3

+ n

−

5

=1

∞

n ln(n + 2)

44)

nX

,

√3

n

+ 3

=1

4

∞

ln−100(2n + 1),

46)

nX

=1

48)

∞

(cos

1

)n2 ln n,

nX

n

=1

∞

π

nX

50)

sin n ln(n + 3),

=1

52)

∞

3n + 3−n − ln n

,

nX

5n + sin n

=1

54)

∞

sin2(n!)

,

nX

n2 ln n

=2

56)

∞

tg n1

,

nX

2

n

=2 ln

∞

1

nX

57)

√n arctg n,

=1

∞ 2n arcsin 1

59)

nX

n +

√4

n

,

n

=1

∞

1

61)

nX

(nn − 1),

=1

ln n

63)

∞ e

− 1 ,

n3

nX

=1

nX

1

65)

∞

3n arctg

,

=1

an

nX

1

67)

∞ n tg

2

,

=2

ln

n

69)

∞

ln(n!)

,

=2

n3

nX

nX

1

71)

∞

,

=1 n

1+

2

n

∞ √

− √

,

73)

n + 2

n − 2

nX

nα

=2

∞

lnα n

75)

nX

,

=2 ln2(n + 1)√n3 + 1

77)

∞

ln(n + 2) − ln n

,

nα + 2cos n

X n=1

15

∞

sin20(2−n)

58)

nX

3n

−

−

=1

3n 1 ,

n + 2 n

1

n=1

n

u

n

u

X

t

60)

∞ ln

vcos

,

∞ arccos

5

1

√

62)

n

,

nX

=1 an + ln2 n

nX

10

n

64)

∞

,

ln n

=1

3

∞

sin

1

− 1

66)

3

n

,

nX

n ln n

=2

67)

∞

3n + ln5 n

,

nX

nα + 1

=1

70)

∞

arctg(n!)

,

nX

n!

=1

∞

1

72)

nX

,

=2 n

α+ 2

ln n

∞

√

n + 1

74)

nX q

,

=1

n5 + ln(n + 2)

76)

∞ ln 1 +

cos2n1

,

nX

=2

n ln

n

78)

∞ n ln

2

1 + cosnα n ,

nX

=1

∞

cos10(n4)

nX

79)

−

n,

√3 n6

−

n + 1

=2

∞

(√

+ (−1)n)n

81)

5

n2,

nX

5n

·

=1

∞

1 + 2n

3

83)

nX

· n ,

−

=1 5n + 3

n

∞

sin6(3n2)

85)

nX

,

=1 n(ln2 n + ln n + 1)

16

∞ √

−

√

cos 2−n,

80)

n + 2

n + 1

nX

n

√n

−

=2

∞

(1 + √

cos nπ )2n

3

82)

nX

3

,

32n

=1

84)

∞

ln n

cos

n

,

nX

nα

3n + 2

=1

∞ √

√

p

n + 1

86)

nX

−

( n + 1

n)

ln n

=1

1.2 Сходимость знакопеременных рядов.

Обратимся теперь к вопросу о сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки (см. [1], стр. 518-540 или [2], стр. 293-318). Если члены ряда не все положительны, но, начиная с некоторого, становятся положительными, то отбросив достаточное количество первых членов ряда, сведем задачу к исследованию положительного ряда. Если же все члены ряда, начиная с некоторого места, отрицательны, то, почленно умножая ряд на (-1), снова придем к исследованию сходимости положительного ряда (см. [1], стр. 504-506 или [2], стр. 260-261). Таким образом, существенно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

При исследовании вопроса о сходимости знакопеременных рядов полезными бывают признаки Лейбница, Абеля и Дирихле (см. [1], стр. 521-523, 536-539 или [2], стр. 302-308). При применении этих признаков необходимо показывать монотонное убывание некоторой последовательности {cn}. Если монотонность {cn} не очевидна, то используют следующий факт.

Пусть функция f : [1, +∞) → R такова, что f(n) = cn(n ≥ 1). Если функция f монотонна на [1, +∞), то и последовательность {cn} монотонна.

Аналогично, если lim f(x) = 0, то lim cn = 0 (докажите оба эти факта!).

x→+∞

17	nX	(	1)n−1 ln n
Пример 1.5. Исследовать сходимость ряда	∞		−			.
	=2		√3 n + 1

B Ряд знакочередующийся. Покажем, что он является рядом лейбни-

√

цевского типа. Пусть f(x) = ln x· ( 3 x + 1)−1. В силу правила Лопиталя

ln x

1

lim x−31

lim

= lim

x

= 3

= 0.

x→+∞

√3 x + 1

x→+∞ 31 x−2/3

x→+∞

ln n

Поэтому lim an = lim

√3

+ 1

= 0. Далее, так как

n

f0(x) =

3 −

√3

(ln x − 3)

x

< 0

x(> x

2),

3(√3 x + 1)2· x

0 ≥

то f монотонно убывает на (x0, +∞), а {an} монотонно убывает при n >

n0(n0 ≥ x0).

В силу сказанного ряд сходится. C Выше нами было показано применение формулы Тейлора к изучению вопроса о сходимости положительных рядов. Формула Тейлора оказывается полезной и при исследовании сходимости знакопеременных рядов в случаях, когда применение признаков Лейбница, Абеля и Дирихле затруд-

нительно или невозможно.

nX

−

Пример 1.6. Исследовать сходимость ряда

∞

(−1)n−1

.

=1 √n + ( 1)n ln n

B Используя формулу Тейлора для функции (1 + x)−1, получаем

an =

(−1)n−n

= (−1)

−

1 + ( 1)n ln n −

=

1

n

1

1

√

+ (−1) ln n

√

−

√

n

n

n

=

(−1)n−1

1

( 1)n

ln n

+ o

ln n

=

(−1)n−1

+

ln n

+ o

ln n

√n

− −

√n

√n

√n

n

n

при n → ∞.

Исходный ряд является суммой следующих двух рядов:

∞ (−1)n−1

и

∞ ln n + o ln n .

X

√

nX

n

n

n=1

n

=1

18 Первый из них сходится как ряд лейбницевского типа (проверьте!).

Исследуем второй, обозначив его члены через bn.

ln n

bn =

+ o

ln n

ln n

при n → ∞.

n

n

n

Отсюда, в частности, следует, что bn > 0 n(> n0). Поскольку,

n

≥ n

≥

nP

ln n

1

,

n

3, то ряд

∞ bn расходится. Следовательно, исходный ряд

расходится.

=1

C

1.2.1. Исследуйте сходимость следующих знакопеременных рядов:

1)

∞

(−1)n−1

,

nX

n + 2

=1

∞

n

1

nX

3)

(−1)

arcsin n,

=1

5)

∞

sin nπ6

,

nX

n + ln n

=1

∞

cos nπ4

nX

7)

=1

n + 1

arctg n,

∞

n

1

1

nX

9)

(−1)

sin 3n cos n,

=1

∞

√

+ 1

n

n

11)

nX

(−1)

ln

√

arcsin

=1

n

1

∞

2

n2

13)

nX

(−1)n−1

√n

,

n + 1

=1

15)

∞ ln 1 +

(−1)n−1

,

nX

√n

=1

n , n + 1

∞(−1)n

2)X √ , n=2 3 ln n

	nX		−		n
4)	∞	(		1)n arcsin	n − 1	,
	=1

∞1

6)X (−1)n(2ln n − 1),

n=2

8)

∞ (−1)

−

3n ,

nX

n 1

1

2n + 5 ·

=1

10)

∞

n−1

n + 1

,

nX

(−1)

ln

n

=1

√

8

∞

sin nπ

n

12)

nX

n + 1,

√n + ln5 n·

=1

nX

( 1)n−1

n

14)

∞

−

,

1

=1

1+ n

16)

∞

(−1)n−1

,

nX

−

=1

√n + (

1)n

∞ sin nπ

X 6

17)	∞			(−1)n−1						,
	nX
		n ln n + (			−		1)n sin n
	=2
19)	∞	(−1)n sin 2n						,
	nX
			ln(n + 1)
	=1
				n(n + 1)
	∞									2n + n
				2
	nX
21)	(−1)									3n + n2 ,
	=1
23)	∞		cos(n + π4 )			.
	nX
	=1 ln2(n + 1)

19

18)

∞

(−1)n−1

,

nX

√

n

3

+ (

−

n

1) ln n

=1

∞ (

−

1)n(1 + √

sin nπ )

3

20)

nX

5n + n

4

,

=1

nX

π

1

22)

∞ cos(

4

+ nπ) sin

n

,

=1

1.3Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость.

Основные понятия см. в [1] на стр. 548-549 или в [2] на стр. 293-316.

Пример 1.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

n=1 np + ln n.

B Прежде всего заметим, что при произвольном p R общий член ряда an → 0 при n → ∞. Справедливы следующие соотношения:

1

1

cos nπ

sin2 nπ

sin nπ

1

3

=

6

|

6

|

, n

1

p

+ ln n

− n

p

p

p

+ ln n

≤ n

p

2 n

+ ln n

n

+ ln n ≤ n

+ ln n

≥

1

,

если p > 0,

1

p

n

Так как

при n

,

n

p

+ ln n

→ ∞

1

,

если p

≤

0

ln n

∞

1

20

то ряд

сходится при p > 1. Значит, при p > 1 сходится ряд

np + ln n

=1

nX

∞

| sin nπ6 |

, а рассматриваемый ряд сходится абсолютно.

=1

np + ln n

nX

∞

sin2 nπ6

Исследуем теперь при p ≤ 1 ряд

=1

. Он является разностью

np + ln n

∞

nX

двух рядов: положительного —

1

1

и знакопеременного —

2

=1

np + ln n

1

∞

cos nπ3

nX

. Первый из них расходится в силу признака сравнения. По-

2

=1

np + ln n

nX

кажем сходимость второго. Имеем:

1)		m			nπ		1				= 2, m ≥ 1 .
			cos				≤
		=1			3				sin π/6
	nX
2)					1			→ 0 при n → ∞ и произвольном p ≤ 1.
	an =
				np + ln n

3) стремление an к нулю монотонно, так как производная функции f(x) =

1

отрицательна на [1, +∞) (проверьте!).

xp + ln n

Таким образом, выполнены все условия признака Дирихле, и второй

ряд сходится при p ≤ 1. Следовательно, ряд

∞ sin2 nπ6

, а поэтому и ряд

=1 np + ln n

∞

| sin nπ6 |

nX

расходится при p

≤

1.

=1 np + ln n

nX

∞

cos nπ3

Легко показать (аналогично тому, как исследован ряд

)

=1

np + ln n

сходимость исходного ряда p (≤ 1)nπ.

nX

∞

sin 6

Подведём итог. Ряд

сходится абсолютно при p > 1

и

np + ln n

=1

nX

C

условно при p ≤ 1.

1.3.1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакопеременные ряды.

1)

∞

(−1)n−1

,

nX

=1 2√n + 1

3)

∞

(−1)n−1

,

nX

=1 n(√n + 1 + √n)

∞

sin n

nX

√n4 + 1 + √n4

−

1,

5)

=1

∞

cos n

nX

7)

=1

√n + ln n,

9)

∞

(−1)n

,

√

20

ln

n

nX n

=2

11)

∞

(−1)n ln n

,

nX

√n + 1

=2

13)

∞

sin n

,

nX

n2

−

n

=2

15)

∞

(−1)n

cos

1

,

nX

n

=1 n2 + √n

17)

∞

(−1)

n

1

2

n+1

,

nX

·

=2 n ln n

∞

sin nπ3

nX

19)

n(1 + ln n),

=1

∞

n

1

21)

(−1)

(2n

1),

nX

−

=1 2n + 1

21

(

1)n−1

2)

∞

−

,

nX

=1 ln n + 3

∞

(

1)n

nX

− √

4)

100

2 ,

=1 ln

n + n

n +

∞

sin nπ4

nX

2 ln n + 1,

6)

=1

8)

∞

(−1)n sin n

,

nX

n

√n

=1

10

10)

∞

(−1)n

√

,

n + 1

nX

n

=1

12)

∞

(−1)n ln12 n

,

nX

√

3

n + n + 1

=2

14)

∞

(−1)n

cos

1

,

nX

n

=1 n + √n

∞

n

1

16)

(−1)

2

n+1

,

nX

=2 n ln2 n·

∞

sin nπ3

18)

nX

=1 n√n ,

∞

(−1)n−1√

,

20)

n

nX

n2

−

−

=1

√n

1

22)

∞

(−1)n

n

,

nX

=1 2n + 1· 2n + 3

			n		1
	∞	(−1) sin					,
23)					2n+1
	nX
			ln n
	=2
	∞	sin(n!)
25)	nX			,
	=1 n√n + 1

∞(−1)n

27)X √ , n=1 nn

29)

∞

(−1)n

tg

1

,

nX

n

=1 n + ln n

31)

∞

(−1)n

arctg n,

=1 n + ln n

nX

33)

∞

sin(2n)

,

nX

2

n

=2 n ln

∞

cos 2n

n

35)

X

arcsin q0, 2,

n=1

2n + 1

37)

∞

(−1)n

cos

1

,

nX

ln n

2n

=2

39)

∞

√3

(−1)n

sin(1 +

1

),

nX

3

n + 1 + √n

n

=1

∞

n √

√

41)

nX

n),

(−1) ( n + 1 −

=1

43)

∞

sin 2n

ln

2n + 1

,

nX

2

2n

=2

ln

n

∞

cos nπ3

n + 1

45)

nX

cos

,

ln ln n

3n + 5

=3

22 ∞

(

1)n ln10 n

24)

nX

−

,

=2

n2 + 1

∞

n ln n

nX

26)

(−1)

n ,

=2

∞

cos nπ4

3n + 1

nX

28)

4n

,

=1 2n + 3·

30)

∞

sin n

,

nX

n + cos n

=1

∞

sin nπ6

2n

nX

32)

√n + 5 ln n + 3,

=1

34)

∞

sin n

arcsin

1

,

nX

n

2n + 1

3

=1

∞

cos 2πn5

2

36)

nX

=1 2 ln n + √n + 1 arctg n ,

∞

ln n

38)

nX

· sin n,

sin √3

−

=1

n

5

+ n

2

n + 1

40)

∞

√3

(−1)n

sin

√4 1

,

nX

3

3

n + 1 + √n

n

=1

√

∞

n √

1

3

3

nX

42)

(−1) (

n + 1 −

n − 1) sin √n,

=1

√

4

∞

sin nπ

n

44)

nX

4,

=1 3√n + 5n + 1·

46)

∞

sin nπ6

,

nX

n2 ln n

=2

47)

∞

cos n

sin

n

,

nX

ln n

n5 + 1

=2

49)

∞

(−1)n sin2 n

,

nX

√n4 + 2n

=1

nX

nπ

1

n + 1

51)

∞ sin

tg

arctg

,

=1

4

n

n

∞

sin nπ6

53)

nX

=2 2√n + 3 ln n,

∞

cos n ln12 n

nX

55)

√3 3n

−

ln n,

=2

57)

∞

cos n· arcsin n3+1n

,

nX

=1 n(ln2 n + ln n + 1)

∞

cos nπ4

1

59)

nX

−

=2 n

√n arcsin 3√n,

61)

∞

sin

nπ

+1

2 ,

3

2nn

nX

−

=1 3n + 1·

∞

nπ

ln100 n

63)

nX

,

sin

4 ·

n

=1

(−1)[√

]

65)

∞

n

sin

1

,

nX

n + 10

n

=1

∞

sin n

67)

nX

4

=1

n + 3 sin nπ ,

23

48)

∞

(−1)n ln n

n

,

nX

=2 n2 + n + 1· 5n + 2

∞

1

√

n

50)

nX

cos n tg

tg

2,

=1

n

52)

∞

sin n

,

nX

√

15

n ln

n

=2

∞

cos n ln5 n

nX

54)

√3 n + 3n2 + 5n5 ,

=1

56)

∞

(−1)n−1

,

=1

np+1/n

nX

58)

∞

(−1)n

,

=2

lnp n

nX

60)

∞

(−1)n

,

nX

=1 n + sin n

∞ √

√

62)

nX

( 2n + 1 −

2n − 1) sin n,

=1

∞

√

n

nX

64)

sin n· 2n + 25,

=1

66)

∞

sin nπ4

,

nX

np + 1

=1

68)

∞

(−1)n

1· 4· 7· . . . · (3n − 2)

p,

nX

7

·

9

·

·

·

(2n + 5)

=1

n

11 . . .

69)

∞

(−1)n

,

nX

n

n + (

−

=2

1)

71)

∞

(−1)n

,

nX

n p

[n + (

−

=2

1) ]

73)

∞ ln 1 +

(−1)n

,

nX

√n

=2

75)

∞

n−1

1

,

nX

(−1)

sin n

=1

∞

n

1

n + 1

nX

77)

(−1)

sin √

· arctg n ,

=1

n

79)

∞

sin n

cos

1

,

nX

ln n + 1

n ln n

=2

∞

(

−

1)n

81)

nX

√

sin(ln n),

2

3

=1

1 + 2n

+ 3n

n(n+1)

83)

∞

(−1)

2

,

nX

ln n

=2

85)

∞

(−1)n

√n

,

n

nX

=3 ln ln n

∞

√

87)

nX

sin(π

n2 + 1),

=1

89)

∞

(−1)n−1

,

nX

n + (

−

1)n ln n

=1

24

∞

n

3)

p

70)

(−1)

1· 5·

9· . . . · (4n −

,

nX

· ·

·

·

(3n

−

2)

=2 ln n

1 4 7 . . .

72)

∞

(−1)n

,

nX

−

−

=1 [√n + ( 1)n 1]p

74)

∞

(−1)n(ln(n + 1) − ln n),

nX

=1

∞

n

1

nX

76)

(−1)

sin n2 ,

=1

78)

∞

sin n

sin

1

,

nX

ln n + 1

n ln n

=2

∞

(−1)n−1

v

80)

3n + 1

,

3n +

√n

=1 √n + ln nu

nX

u

t

∞

82)

nX

(−1)n sin √n n,

=1

∞

cos(n!)

84)

nX

,

=1 (n + 1)(ln3 n + 1)

∞

n

(2n)!!

nX

86)

(−1)

(2n

−

1)!!,

=1

∞

sin(π√3

)

n3 + n

88)

nX

,

=2

ln2 n

∞

sin n

nX

90)

n + 10 sin n,

=10