Объекты, составленные из нулей и единиц.

Символ Кронекера теперь может иметь три различных строения: . Однако, чаще всего мы будем пользоваться символом Кронекера смешанного строения . Легко проверяется, что

Мы будем пользоваться абсолютно антисимметричным символом третьего порядка только двух различных строений: нижнего и верхнего . Каждый из этих объектов определяется совершенно так же, как нижний символ , которым мы уже пользовались в теории ортогональных тензоров.

Таким же образом, как было сделано выше, нетрудно проверить следующие основные тождества:

Удобно ввести обобщенные символы Кронекера, которые определяются следующим образом:

При помощи этих объектов можно выполнять следующие действия.

Замена индексов

Альтернирование

Вычисление детерминантов. Детерминанты могут быть построены из нижних, верхних и смешанных матриц.

Нижняя матрица:

(1)

Верхняя матрица:

(2)

Смешанная матрица:

(3)

Алгебраические дополнения. Умножим первое равенство (1) на e^pqt. Так как e^pqte_pqr = 2 , то мы можем написать

Введём обозначение

(4)

Тогда для детерминанта а = |a_ip| получим следующее выражение:

Элементы объекта А^lt называются алгебраическими дополнениями элементов детерминанта а = |a_ip|.Если в (4) положить t = r = а, то получим

Это — разложение детерминанта по элементам а-го столбца. Чтобы получить разложение по элементам строки, умножим второе равенство (1) на е^iкт. Получим

Введя обозначение

можем написать

Если здесь положить 1 = т = а, то мы получим разложение детерминанта по элементам а-й строки:

Фундаментальный объект.

Если обозначить при помощи одной и той же главной буквы два объекта, имеющие один и тот же порядок и одно и то же число измерений, но неодинаковое строение, то эти объекты являются различными представлениями одного и того же геометрического или физического объекта; например, записи a_ik, , а^iк являются различными представлениями одного и того же объекта. Между этими представлениями должна существовать некоторая зависимость.

Мы условимся, что эта зависимость линейна, однородна и осуществляется при помощи некоторого объекта второго порядка, обозначаемого через g_ik; объект g_ik называется фундаментальным объектом. Предполагается, что фундаментальный объект симметричен, т. е. что g_ik = g_ki.

Зависимость между двумя различными представлениями объектов первого порядка определим следующим образом:

(5)

В силу симметрии фундаментального объекта это равенство можно записать и в таком виде:

Зависимость между тремя различными представлениями объектов второго порядка будет следующая:

(6)

а в силу симметрии фундаментального объекта,

Подобным же образом можно установить зависимости между различными представлениями объектов любого порядка.

Определенные таким способом различные представления называются ассоциированными относительно фундаментального объекта g_ik.

Мы всегда будем предполагать, что детерминант матрицы фундаментального объекта не равен нулю; этот детерминант будем обозначать через, g = |g_ik|. Итак, всегда

В этом случае система (5) разрешима относительно, а ^р. Обозначив матрицу, обратную ||g_sk||, через ||g^is||, так что

мы, очевидно, можем написать

Нетрудно сделать то же самое и для объектов любого порядка.