- •6. Выбросы случайных процессов
- •6.1. Общие понятия
- •6.2. Математическое ожидание числа положительных выбросов
- •7. Некоторые нелинейные задачи теории случайных
- •7.1 Метод статистической линеаризации
- •7.2. Исследование точности нелинейных систем
- •8.Определение характеристик случайных процессов
- •8.1. Статистическая оценка математического ожидания случайного
- •8.2.Статистическая оценка корреляционной функции случайного процесса
- •8.3. Статистическая оценка спектральной плотности случайного процесса
- •8.4. Определение статистической оценки закона распределения ординаты
6. Выбросы случайных процессов
6.1. Общие понятия
Рассмотрим некоторую реализацию случайного процесса X(t) в течение конечного интервала времени Т. Если задать фиксированный уровень с, то в интервале 0…Т эта реализация может несколько раз превышать уровень с (рис.6.1).
Рис.6.1. Выбросы реализации случайного процесса за уровень с
Будем называть пересечение процессом X(t) заданного уровня с положительной производной (снизу вверх) положительным выбросом, сверху вниз – отрицательным выбросом. Ограничиваясь положительными выбросами, поставим перед собой задачу определить их следующие вероятностные характеристики:
числовые характеристики случайного числа выбросов за интервал времени Т;
числовые характеристики случайного времени в интервале Т, в течение которого процесс X(t) превышает заданный уровень с.
6.2. Математическое ожидание числа положительных выбросов
Для того, чтобы в интервале t…t+t произошел бы положительный выброс, необходимо выполнение следующих неравенств:
с, с.
Эти неравенства при их объединении запишутся в виде:
X(t) c. (6.1)
Поэтому вероятность положительного выброса в интервале определится как вероятность следующего события:
X(t) c) при (6.2)
Введем условную плотность распределения вероятностей процесса X(t) при фиксированном значении производной в этот момент времени . При этом условная вероятность выброса определится как
. (6.3)
Безусловная вероятность выброса в момент времени t ,будет:
(6.4)
В (6.4) принято следующее обозначение:
временная плотность распределения вероятности выброса за уровень с в момент времени t.
Для определения математического ожидания числа выбросов за уровень с в интервале времени T (t0, t0+T), разобьем этот интервал на n малых интервалов (tj, tj+tj) и введем случайные величины Zj, равные 1, если в этом интервале произошел выброс, и равные 0, если выброса не было. Тогда полное число выбросов за время Т будет . Математическое ожидание числа выбросов определится как:
, (6.5)
где . (6.6)
Подставляя (6.6) в (6.5), будем иметь:
. (6.7)
При
. (6.8)
Если процесс стационарен и плотность не зависит от времени, то
. (6.9)
В случае нормального стационарного процесса X(t) процесс , линейно связанный с X(t), также нормален. При этом mY=0. Покажем, что процессы X(t) и Y(t) в совпадающие моменты времени некоррелированы. Действительно, обращаясь к аппарату спектральных плотностей, запишем:
. (6.10)
В соответствии с обратным преобразованием Лапласа
. (6.11)
При , (6.12)
В случае стационарного нормального процесса плотность распределения системы X и Y, входящая в выражение (6.9), не зависит от сечения процесса во времени:
. (6.13)
Подставляя (6.13) в (6.8), получим:
(6.14)
В случае центрированной случайной величины Y интеграл, входящий в (6.14), является дисперсией этой случайной величины. Поэтому математическое ожидание числа превышения нормальным стационарным процессом уровня с определится как
. (6.15)
Следует отметить, что при определении вероятностных характеристик необходимо, чтобы существовала вторая непрерывная производная корреляционной функции при . Действительно . Так например, нельзя аппроксимировать выражением . В этом случае
т.е. первая производная корреляционной функции при терпит разрыв, следовательно вторая непрерывная производная в этот момент времени не существует.
Пример. Корреляционная функция нормального стационарного процесса X(t) аппроксимируется выражением ). Первая и вторая производные этой корреляционной функции при будут:
, .
Следовательно,
(6.16)
Искомое математическое ожидание числа выбросов за время Т при этом определится как
. (6.17)
Пусть напряжение на шинах узла электрической сети представляет собой стационарный нормальный случайный процесс с математическим ожиданием равным номинальному напряжению, принимаемому в относительных единицах равным mX =1. Среднее квадратическое отклонение напряжения в относительных единицах X=0.1. Параметр корреляционной функции равен =1 1/час. Определить математические ожидания числа превышений номинального напряжения выше уровня с=var в течение суток (Т=24 часа):
.
6.3. Математическое ожидание времени превышения процессом X(t)
заданного уровня
Время превышения процессом X(t) в течение интервала Т уровня с согласно рис.6.1. может быть представлено как . Математическое ожидание этого времени определится как:
. (6.18)
При (
. (6.19)
В случае стационарного процесса
. (6.20)
И наконец в случае нормального стационарного процесса:
, (6.21)
где интеграл вероятности или функция Лапласа.
Из (6.19)…(6.21) следует, что математическое ожидание времени превышения случайным процессом некоторого заданного уровня не зависит от вида аппроксимации его корреляционной функции.
Пример. В условиях предыдущего примера определим по (6.21) математические ожидания времени превышения номинального напряжения в некотором узле электрической сети над различными заданными уровнями в течение суток (время приводится в часах):