- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
Свободная точка описывается дифференциальным уравнением
, (4.15)
где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке . Рассмотрим несвободную систему с идеальными голономными связями. Обозначая, как и раньше, массы точек через , равнодействующую задаваемых сил через , ускорение точки - , реакции связей через , возможные перемещения через . Тогда уравнения движения точки запишется в виде
. (4.16)
Вычитая (4.16) из (4.15), получим
Умножим каждое из полученных уравнений на возможное перемещение и просуммируем по всем точкам системы
. (4.17)
В случае идеальных связей правая часть уравнения (3.17) равна нулю, тогда с учётом (3.15) имеем
. (4.18)
Это основное, как мы дальше увидим, для всей динамики несвободной системы полученное уравнение получило название общего уравнения динамики.
Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
Уравнения Лагранжа второго рода представляют дифференциальные уравнения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в неависимых обобщенных координатах, — их обычно и называют уравнениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. Рассмотрим систему с n степенями свободы, подчиненную идеальным голономным связям. Положение системы в пространстве будем определять n независимыми обобщенными координатами . Вектор-радиус любой точки системы может быть выражен через обобщенные координаты и время, если связи нестационарны, по формулам , а возможные перемещения определятся как вариации вектор-радиусов;
.
Так как все обобщённые координаты считаем независимыми, то все представляют произвольные бесконечно малые величины. Докажем предварительно два тождества Лагранжа. Составим выражения векторов скоростей точек системы:
(4.19)
Производные обобщенных координат по времени, т. е. величины называются обобщенными скоростями. Формулы (4.19) показывают, что скорость любой точки линейно выражается через обобщенные скорости, Поэтому, обозначая через к произвольный индекс, изменяющийся от 1 до n, будем иметь:
(4.20)
Это первое тождество Лагранжа. Докажем второе тождество
(4.21)
Для этого, дифференцируя обе части (4.19) по , получим
С другой стороны, составим непосредственно
Сравнивая последние два равенства, убеждаемся в справедливости соотношения (4.21). Обратимся к общему уравнению динамики (4.18) и перепишем его в виде
(4.22)
Первая сумма уже была выражена через обобщенные координаты (4.11); она равна , где Qj — обобщенная сила. Что касается второй суммы в уравнении (4.22), то ее можно преобразовать, пользуясь (4.9) и меняя порядок суммирования:
(3.23)
скалярное произведение под знаком суммы преобразуется к виду
(4.23)
или по формулам (4.20) и (4.21)):
Подставляя последнее выражение в круглую скобку правой части равенства (4.23) и замечая, что сумма определяет кинетическую энергию системы, получим:
Уравнение (4.18) теперь перепишется так:
(4.24)
Последнее равенство может выполняться при произвольных , только если все круглые скобки равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Лагранжа второго рода, составленным в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями:
(4.25)
Уравнения (4.25) представляют совокупность n (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с n независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. Оператор
(4.26)
носит название оператор Эйлера-Лагранжа. Уравнению Лагранжа второго рода можно дать и другое доказательство. Как указывалось выше, положение любой точки можно представить в виде , где n - число независимых обобщённых координат, равное, в нашем случае, числу степеней свободы системы. Тогда и величину можно представить как направление вдоль координатной линии . Спроектируем основное уравнение динамики точки на это направление
(при этом есть сумма всех сил: внешних и внутренних, действующих на точку) и сложим все полученные проекции.
(4.27)
Справа в выражении (4.27) стоит по (4.11) обобщённая сила, а слева выражение (4.23). Проведя аналогичные преобразования, получаем уравнение Лагранжа второго рода.
.
Пример. Рассмотрим задачу о колебаниях стержня массы m и длины l, подвешенного в точке D к вращающемуся вокруг вертикальной оси АВ стержню АВD. Момент инерции стержня АВD равен J. За обобщённые координаты выберем углы и φ. Кинетическая энергия системы в общем виде запишется в форме
,
Здесь - скорость центра стержня, - вектор угловой скорости стержня, -тензор инерции стержня относительно центра С. Подставив введённые обозначения в формулу для кинетической энергии, получим
Проведя несложные преобразования, запишем кинетическую энергию в виде
Совсем нетрудно получить и выражение для возможной работы сил:момента и силы тяжести .
.
Обобщённые силы будут . Составим уравнения движения с помощью уравнения Лагранжа второго рода:
; обозначим , и , тогда и первое уравнение имеет вид
.
Второе уравнение будет
.