- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
Понятие центра параллельных сил весьма полезно для нахождения центра тяжести тела, центра объёма, сечения. Рассмотрим случай силы тяжести. (При небольших размерах тела во всех технических приложениях можно считать силы тяжести отдельных частиц тела системой параллельных сил. Угол между направлениями сил тяжести двух точек, расположенных на поверхности Земли на расстоянии 1 км друг от друга по меридиану, равен 32"). Элементарные объёмы тела весом каждый, образуют систему параллельных сил, и для них справедливы формулы (14), если силу заменить на .Но эти формулы являются приближёнными, так как значения координат определяются с точностью до размеров кубиков . Чем меньше размеры кубиков, тем меньшую ошибку сделаем, определяя центр тяжести по формулам (1.12). Поэтому устремим число N к бесконечности. Предел такого рода есть определённый интеграл.
(1.13)
Формула (1.13) определяет координаты центра сил тяжести частиц тела, или, спроектировав векторную запись на соответствующие оси, координаты центра тяжести тела. В этих формулах величина ρ(xyz) есть вес единицы объема, т. е, удельный вес неоднородного тела. В случае однородного тела величина ρ постоянна (не зависит от координат) и может быть вынесена за знак суммы в числителе и знаменателе, а затем сокращена. Таким образом, получаем формулы для координат центра тяжести однородного тела
Так как в последних формулах фигурируют только геометрические величины, то говорят, что они определяют центр объема. Если параллельные силы непрерывно распределены по некоторой поверхности Ѕ однородного тела, то в формуле (1.13) надо положить dV=HdS где H- сила, отнесенная к единице площади поверхности (напряжение), а dS —элементарные площадки, на которые мысленно разбита поверхность. Получаем
(1.14)
Параллельные силы могут быть также непрерывно распределены вдоль некоторой линии, как, например, силы тяжести, приложенные к тонкой проволоке, ось которой представляет данную линию. Полагаем и при однородном материале и постоянном поперечном сечении, q-вес единицы длины (погонный вес) проволоки будет постоянным, и мы получаем формулы для координат центра тяжести однородной линии:
(1.15)
Фактическое разыскание координат центра тяжести объема, поверхности или линии требует применения методов интегрального исчисления. В практических приложениях часто приходится иметь дело с телами или фигурами, составленными из нескольких тел, фигур, имеющих известные геометрические формы, положение центров тяжести которых известно. Для таких тел положение центра тяжести может быть определено без вычисления интегралов.
1. Если однородное тело имеет ось симметрии или плоскость симметрии, центр объёма, фигуры, будет находиться на этой оси. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр объёма будет находиться в этой плоскости. При наличии двух плоскостей симметрии центр тяжести будет находиться на линии пересечения этих плоскостей.
2. Представим себе, что однородный объём V может быть разбит на несколько объёмов , координаты центров которых известны. Тогда нетрудно найти и координаты центра объема V. В самом деле, имеем (для ):
и аналогичные формулы можно написать для , тогда
(1.16)
Аналогичные формулы могут быть написаны в случае поверхности плоской фигуры, а также и для неоднородных тел, поверхностей и линий.
В случае, если для составления объема V некоторые из слагаемых объемов нужно вычесть (тело с отверстиями), можно пользоваться теми же формулами (1.16), если условиться слагаемые, соответствующие отбрасываемым объемам, брать с отрицательными знаками. Рассмотрим пример.
Ц ентр сечения. Дан сектор радиуса R, с углом 2α. Ось ОХ является осью симметрии, поэтому . Выделим в заданном секторе бесконечно малый сектор с площадью , центр выделенного сектора . Подставляя полученные формулы в (1.14), получим
Для - .
Если необходимо определить центр дуги, то , а . Подставляя полученные формулы в (1.15), имеем .
Для - .
Определение центров тяжести линий и площадей во многих случаях может быть облегчено, если пользоваться теоремами Паппа-Гульдина. Эти теоремы гласят:
1. Боковая поверхность тела вращения, описанная дугой плоской кривой, вращающейся вокруг оси, расположенной в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна длине дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги. Это первая теорема. Действительно, для дуги имеем , откуда следует
2. Объём тела вращения, описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг оси, расположенной в плоскости фигуры и не пересекающей её контура, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой её центром тяжести. Это вторая теорема.
Действительно, для сектора получаем , откуда следует