- •Федеральное агентство по образованию рф гоу впо “Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина”
- •Лабораторная работа
- •Федеральное агентство по образованию рф гоу впо “Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина”
- •Лабораторная работа
- •Лабораторная работа
- •Лабораторная работа
Федеральное агентство по образованию рф гоу впо “Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина”
Кафедра ТОТ
Лабораторная работа
«Исследование процесса нестационарной теплопроводности на численной имитационной математической модели»
Выполнил: студент гр. III-2xx
Лашин А.О.
Проверил: Солнышкова Ю.С.
Иваново 2008
Цель работы:
а) применение численных (имитационных) математических моделей для исследования нестационарной теплопроводности;
б) изучение технологии матеметического моделирования на примере расчета режимов нагрева и охлаждения твердых тел простейшей формы при граничных условиях I, II и III рода.
Задание.
На численной математической модели рассчитать температурное поле для бесконечного цилиндра при граничных условиях 1, 2 и 3 рода. Проанализировать изменение температуры тела по сечению тела и во времени.
, Вт/(м·К) |
a, м2/с |
R, м |
T0, 0C |
к, с |
Г.У. |
Параметры |
30 |
10-5 |
0,1 |
20 |
600 |
I |
Tw=1000 0C |
30 |
10-5 |
0,1 |
20 |
600 |
II |
q=10000 Вт/м2 |
30 |
10-5 |
0,1 |
20 |
600 |
III |
Tf=1000 0C =300 Вт/( м2·К) |
Математическая формулировка задачи.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для тел простейшей формы, к которым относят неограниченную пластину, неограниченный цилиндр и шар, имеет вид:
или при допущении независимости теплофизических коэффициентов (с’ и ) от температуры и отсутствии внутренних источников теплоты (qv=0) данное уравнение можно записать следующим образом:
При симметричном нагреве: для пластины R=d/2, где d – толщина пластины;
для цилиндра R=dц/2=rц, где rц – радиус цилиндра;
для шара R=dш/2=rш, где rш – радиус шара.
Г раничное условие на внутренней границе при x=0 является следствием симметрии температурного поля:
И з (2) при x=0 имеем:
В безразмерной форме ДУ теплопроводности примет вид:
где Fo=a/R2 – критерий Фурье; X=x/R – безразмерная координата; R – размер расчетной области; - безразмерная температура.
П ри граничных условиях III рода:
где Bi = R/ - критерий Био.
Основные формулы явной разностной схемы.
а) внутренняя граница, i=0:
б) внутренние узлы, i=1,2,…,N-1:
где Ik-=0,5(k-1)/(i-0,5); Ik+=0,5(k-1)/(i+0,5);
в ) внешняя граница, i=N (ГУ III рода):
В данных формулах k – коэффициент формы; f = a/x2 – разностный критерий Фурье; b = x/ - разностный критерий Био.
Явная разностная схема устойчива при ГУ III рода, если:
Выбор шагов по пространству x и времени .
определяем из условия устойчивости (12):
П ринимаем = 1 с.
Результаты моделирования:
граничные условия 1 рода |
|||||||||||
|
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,1 |
0 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
1000 |
100 |
171,2 |
180,22 |
207,51 |
253,64 |
319,06 |
403,55 |
505,61 |
622,01 |
747,71 |
876,16 |
1000 |
200 |
509,67 |
516,59 |
537,09 |
570,36 |
615,1 |
669,53 |
731,43 |
798,25 |
867,19 |
935,38 |
1000 |
300 |
723,71 |
727,68 |
739,44 |
758,47 |
783,96 |
814,83 |
849,78 |
887,33 |
925,92 |
963,99 |
1000 |
400 |
844,96 |
847,19 |
853,8 |
846,49 |
878,81 |
896,14 |
915,76 |
936,82 |
958,47 |
979,81 |
1000 |
500 |
913,03 |
914,28 |
917,99 |
923,98 |
932,02 |
941,74 |
952,74 |
964,56 |
976,7 |
988,67 |
1000 |
600 |
951,21 |
951,91 |
953,99 |
957,36 |
961,86 |
967,82 |
973,49 |
980,12 |
986,93 |
993,64 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
граничные условия 2 рода |
|||||||||||
|
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,1 |
0 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
100 |
20,84 |
20,91 |
21,13 |
21,53 |
22,15 |
23,03 |
24,24 |
25,82 |
27,82 |
30,29 |
33,23 |
200 |
25,3 |
25,43 |
25,85 |
26,55 |
27,54 |
28,84 |
30,47 |
32,42 |
34,72 |
37,36 |
40,36 |
300 |
31,2 |
31,35 |
31,82 |
32,59 |
33,67 |
35,07 |
36,79 |
38,83 |
41,19 |
43,88 |
46,89 |
400 |
37,45 |
37,61 |
38,08 |
38,87 |
39,97 |
41,39 |
43,13 |
45,19 |
47,57 |
50,26 |
53,28 |
500 |
43,77 |
43,93 |
44,41 |
45,2 |
46,31 |
47,74 |
49,48 |
51,54 |
53,92 |
56,26 |
59,64 |
600 |
50,12 |
50,28 |
50,75 |
51,55 |
52,66 |
54,08 |
55,83 |
57,89 |
60,27 |
62,97 |
65,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
граничные условия 3 рода |
|||||||||||
|
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,1 |
0 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
100 |
41,67 |
43,44 |
49,93 |
58,68 |
73,53 |
94,48 |
122,56 |
158,66 |
203,34 |
256,64 |
318,08 |
200 |
142,26 |
145,14 |
153,81 |
168,28 |
188,6 |
214,78 |
246,76 |
284,41 |
327,47 |
375,54 |
428,1 |
300 |
256,51 |
259,26 |
267,49 |
281,14 |
300,08 |
324,14 |
353,11 |
386,69 |
424,54 |
466,24 |
511,34 |
400 |
360,07 |
362,49 |
369,71 |
381,66 |
398,21 |
419,19 |
444,35 |
473,43 |
506,11 |
542,01 |
580,74 |
500 |
450,06 |
452,15 |
458,38 |
468,69 |
482,96 |
501,04 |
522,71 |
547,73 |
575,83 |
606,69 |
639,96 |
600 |
527,56 |
529,35 |
534,71 |
543,58 |
555,85 |
571,39 |
590,01 |
611,52 |
635,66 |
662,17 |
690,74 |
Вывод:
При нагреве (охлаждении) при граничных условиях 1 рода выделяют три режима: начальный период (велико влияние начальных условий), установившийся (регулярный) режим (влияние начальных условий можно пренебречь) и режим термодинамического равновесия;
В случае нагрева при граничных условиях 2 рода наблюдаются два участка: начальных режим (велико влияние начальных условий) и квазистационарный режим;
При граничных условиях 3 рода наблюдаются три режима нагрева: начальный период (велико влияние начальных условий), регулярный режим (не учитывается влияние начальных условий) и режим теплового равновесия.