Лабораторная работа № 9 Точечные статистические характеристики

Выборочными характеристиками называются характеристики, рассчитанные по данным выборки из изучаемой генеральной совокупности. Характеристики называются точечными, если они определяются одним числом.

§2.1. Основные точечные статистические характеристики

Средние

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений измеряемой величины:

, (2.1)

где x_i, – варианты, n_i – их частоты, n – объем выборки.

Если данные не сгруппированы, то выборочная средняя является обычной средней арифметических всех наблюдений:

(2.2)

Выборочная средняя служит для оценки генеральной средней. Генеральной средней называется среднее арифметическое всех значений данной величины в генеральной совокупности.

Дисперсии. Стандартное отклонение

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений измеряемой величины от выборочной средней:

. (2.3)

В этой формуле и во всех последующих формулах данного параграфа предполагается, что данные уже сгруппированы.

Формулу (2.3) можно привести к более удобному для вычислений виду:

, (2.4)

где среднее арифметическое квадратов отклонений:

. (2.5)

Дисперсия, вычисляемая по значениям изучаемой величины генеральной совокупности, называется генеральной дисперсией и обозначается .

Исправленной дисперсией называется величина

, (2.6)

где n – объем выборки. Различие между величинами s² и ощутимо при n<30, поэтому на практике при n>30 достаточно использовать .

Выборочным стандартным (или средним квадратическим) отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии:

. (2.7)

Генеральным стандартным (или средним квадратическим) отклонением называется корень квадратный из генеральной дисперсии.

Исправленным стандартным отклонением s называется корень квадратный из исправленной дисперсии:

. (2.8)

Мода. Медиана. Размах варьирования

В некоторых случаях возникает необходимость вычисления дополнительных точечных характеристик выборки, таких как мода, медиана, размах варьирования.

Модой М_о называется значение измеряемой величины, которое чаще других встречается в совокупности данных, то есть мода – это варианта с наибольшей частотой.

Медианой М_е называется значение измеряемой величины, которое разделяет совокупность на две равные по числу элементов части. Если количество k различных вариант в выборке – нечетное, то медиана равна М_е=х_m, где m=(k+1)/2, а k – число вариант. Если количество k различных вариант в выборке – четное, то медиана равна М_е=(х_m+х_m+1)/2, где m=k/2, а k – число вариант.

Размах варьирования R – это разность между наибольшим x_max и наименьшим x_min значениями измеряемой величины совокупности (генеральной или выборочной): R=x_max–x_min.

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Для оценки отклонения распределения данных эксперимента от нормального распределения (о нормальном распределении подробнее см. в следующей главе 3.) используются такие характеристики как асимметрия А и эксцесс Е. Для нормального распределения А=0 и Е=0.

Асимметрия показывает, на сколько распределение данных несимметрично относительно нормального распределения: если А>0, то большая часть данных имеет значения, превышающие среднее ; если А<0, то большая часть данных имеет значения, меньшие среднего .

Эксцесс оценивает крутость, т.е. величину большего или меньшего подъема максимума распределения экспериментальных данных по сравнению с максимумом нормального распределения. Если Е>0, то максимум экспериментального распределения выше нормального; если Е<0, то максимум экспериментального распределения ниже нормального.

На практике считают, что если значения асимметрии и эксцесса эмпирического распределения отличаются от нуля в пределах ±0,5, то такое отличие может быть отнесено за счет случайности выборочного метода.