Порядок виконaння pоботи

1. Використовуючи наведені у таблиці 7.2 вихідні дані, зробити розрахунки коефіцієнтів лінійної регресії а та b.

2. Обчислену інформацію репрезентувати у вигляді, аналогічному рисунку 7.1 та таблиці 7.1.

3. Навести рівняння регресії та зробити висновки.

Таблиця 7.2 – Вихідні дані для розрахунку коефіцієнтів лінійної регресії

Варіант	Дані для завдання
1	х	12,4	12,5	13,8	14,6	14,9	16,2	18,4	19,2	20,4	21,5
	y	89	91	95	101	114	126	131	139	144	145
2	х	12,8	12,1	14,3	14,6	15,9	17,3	19,4	19,5	20,9	21,8
	y	88	93	97	105	111	121	139	144	147	154
3	х	12,4	12,5	13,8	14,6	14,9	16,2	18,4	19,2	20,4	21,5
	y	89	91	95	101	114	126	131	139	144	145
4	х	13,4	13,5	14,8	15,6	16,9	17,2	19,4	20,1	21,4	22,6
	y	86	92	98	104	116	117	121	129	149	147

Продовження таблиці 7.2
5	х	13,8	14,1	15,3	16,6	16,9	18,3	21,4	22,5	21,9	23,9
	y	83	92	96	101	110	120	131	142	149	159
6	х	15,4	15,5	16,8	17,9	17,9	19,2	21,4	22,3	24,4	26,5
	y	93	95	96	111	124	136	141	157	156	159
7	х	10,4	10,5	11,8	12,6	12,9	14,2	16,4	17,3	18,4	24,5
	y	64	72	75	81	94	106	111	119	124	125
8	х	12,8	12,1	14,3	14,6	15,9	17,3	19,4	19,5	20,9	21,8
	y	68	53	77	85	81	101	117	125	125	134
9	х	15,4	15,5	16,9	17,6	17,7	19,2	20,4	22,2	22,4	23,5
	y	89	91	95	101	114	126	131	139	144	145
10	х	12,4	12,5	13,8	14,6	14,9	16,2	18,4	19,2	20,4	21,5
	y	59	62	67	81	94	96	104	106	124	125

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Дати визначення поняттю кореляції.

2. Яким методом визначаються параметри рівняння регресії?

3. Що лежить в основі методу найменших квадратів?

ЛІТЕРАТУРА

1. Єріна A.M., Захожай В. Б., Єрін Д.Л. Методологія наукових досліджень: Навчальний посібник. - Київ: Центр навчальної літератури, 2004. – С. 126 - 130.

Лaбоpaтоpнa pоботa № 8

Обробка результатів експериментальних досліджень на основі регресійного аналізу

Мета роботи: дослідити основні засади регресії аналізу, оцінити параметри лінійної регресії.

Прилади і матеріали: персональний комп’ютер типу ІВМ PС або калькулятор.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань, тому слід перевірити його істотність. При лінійному зв'язку істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерію Стьюдента, статистична характеристика якого для гіпотези Н₀:b = 0 визначається відношенням коефіцієнта регресії b до власної стандартної похибки μ_b, тобто

(8.1)

Стандартна, похибка коефіцієнта регресії залежить від варіації факторної ознаки х, залишкової дисперсії s_e² і числа ступенів свободи df = n – m , де m - кількість параметрів рівняння регресії (для лінійної регресії m = 2):

(8.2)

В нашому прикладі s_x² = = 3,56; s_e² = = 10,22.

Звідси

перевищує критичне значення двостороннього t-критерію t_0,95(8) = 2,31 (таблиця 8.1).

Гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, а отже, з імовірністю 0,95 вплив інвестицій у розвиток ринкової інфраструктури на обсяги продажу товару визнається істотним.

Для коефіцієнта регресії, як і для будь-якої іншої випадкової величини, визначаються довірчі межі b ± t μ_b. У нашому прикладі довірчі межі коефіцієнта регресії з імовірності 0,95 (t = 2,31) становлять 4,51 ± 2,31∙0,60.

Таблиця 8.1 – Критичні точки t-тесту для α = 0,05

Мірою щільності парного лінійного зв'язку слугує коефіцієнт кореляції r

. (8.3)

Значення коефіцієнта кореляції змінюються в діапазоні від -1 до +1, тобто оцінюючи щільність зв'язку, коефіцієнт кореляції вказує і на його напрям: при прямому зв'язку r- величина додатна, при зворотному - від'ємна.

За даними таблиці 7.1

ПОРЯДОК ВИКОНAННЯ PОБОТИ

1. Використовуючи наведені у таблиці 7.2 вихідні дані, зробити розрахунки коефіцієнта регресії b та коефіцієнта кореляції r.

2. Обчислену інформацію репрезентувати у вигляді, аналогічному рисунку 7.1 та таблиці 7.1.

3. Навести розрахунки коефіцієнта регресії b та коефіцієнта кореляції r, зробити висновки.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Дати визначення поняттю регресії.

3. Для чого застосовують коефіцієнт кореляції?

2. Як визначаються коефіцієнт регресії b та коефіцієнт кореляції r?

ЛІТЕРАТУРА

1. Єріна A.M., Захожай В. Б., Єрін Д. Л. Методологія наукових досліджень: Навчальний посібник. - Київ: Центр навчальної літератури, 2004. – С. 130 – 132.

Лабораторна робота №9

Дослідження технічної системи за допомогою повного факторного експерименту

Мета роботи: ознайомитися з методикою математичного планування експериментів та аналізу отриманого рівняння регресії.

Прилади і матеріали: персональний комп’ютер типу ІВМ PС.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Дослідження з метою оптимізації технологічного процесу виробництва будь-якої продукції містить важливий етап - визначення (відшукання) математичної моделі - рівняння зв'язку вихідного показника якості виробу (цільової функції, параметра оптимізації) з параметрами цього виробу або технологічного процесу (вхідними факторами). Модель - це спрощена система, що відбиває окремі сторони явищ досліджуваного об'єкта. Кожен досліджуваний процес можна описати різними моделями, при цьому жодна модель не може зробити це абсолютно повно й всебічно. Однак використання спрощеної моделі, що відбиває окремі риси досліджуваного об'єкта, дозволяє ясніше побачити взаємозв'язок причин і наслідків, входів і виходів, швидше зробити необхідні висновки, прийняти правильні рішення.

Математичне моделювання є методом якісного або кількісного опису об'єктів або процесів, при цьому реальний об'єкт, процес або явище спрощується, схематизується й описується певним рівнянням. У більшості випадків математична модель являє собою рівняння регресії, тобто геометричне місце крапок математичних очікувань умовних розподілів цільової функції. Найпростішим прикладом такої моделі є рівняння парної кореляції, де на цільову функцію впливає один фактор. На практиці в реальному виробництві на цільову функцію впливають багато факторів і шукане рівняння регресії стає багатомірним.

Існує багато методів відшукання рівняння регресії, які можна умовно розділити на два класи: методи активного й методи пасивного експерименту. Під активним експериментом будемо розуміти експеримент, попередній план якого складений так, щоб одержати максимальну інформацію про цільову функцію при мінімальній її дисперсії й проведенні мінімального числа дослідів (ефективний план). Такий план (наприклад, повний факторний експеримент) вимагає штучного одночасного варіювання всіма факторами в досить широких межах.

Побудова математичної моделі технологічного процесу залежно від поставленого завдання може переслідувати наступні цілі: мінімізувати витрати матеріалу на одиницю продукції, щоб, при збереженні якості, зробити заміну дорогих матеріалів на більш дешеві або дефіцитних на поширені; скоротити час обробки в цілому або на окремих операціях, перевести окремі режими в некритичні зони, знизити трудові витрати на одиницю продукції й т.п.; поліпшити приватні показники й загальну кількість готової продукції, підвищити однорідність продукції, поліпшити показники надійності й т.п.; збільшити надійність і швидкодію керування, збільшити ефективність контролю якості, створити умови для автоматизації процесу керування й т.п.

Насамперед, необхідно вибрати залежну змінну Y, що будемо називати цільовою функцією або параметром оптимізації, за який приймають один з показників якості продукції або по кожній технологічній операції окремо, або по всьому технологічному процесі відразу.

За фактор приймають контрольовану величину об'єкта (виробу, процесу, операції), тобто величину, що характеризує та або інша властивість об'єкта або режим технологічного встаткування. Ця величина, числове значення якої виміряється в межах (границях) зміни, повинна впливати на параметр оптимізації. При визначенні величин кількісних оцінок в увагу повинні прийматися тільки ті фактори, які мають чіткий метрологічний зміст (можливість виміру фактора з певною точністю). Опис досліджуваного об'єкта не можна одержати у вигляді точної формули функції, справедливої у всьому діапазоні існування аргументів. Воно може бути лише наближеним і на невеликій ділянці на околицях обраної базової крапки. Математична модель має вид рівняння регресії, що являє собою поліном розкладений у ряд Тейлора:

(9.1)

: (9.2)

де X₁, X₂,...,X_n, - фактори.

При механічній обробці такими факторами можуть бути режими різання (подача , швидкість різання) , характеристики оброблюваного матеріалу , тощо.

Чим більше величина b_i , тим більше вплив фактора на математичну регресію.

Повним факторним експериментом (ПФЕ) називається експеримент, що реалізує всі можливі повторювання комбінації рівнів незалежних змінних, кожна з яких примусово варіюється на двох рівнях .

Число цих комбінацій N=2ⁿ визначає тип планування.

Для гарантованого одержання єдиного рішення системи нормальних рівнянь необхідно мати ортогональну матрицю планування, що неможливо забезпечити в абсолютній системі одиниць факторів Xi, тобто тоді, коли фактори іменовані. Тому необхідно провести попереднє перетворення кожного фактору - його переклад у систему відносних координат. Таке перетворення легко зробити за допомогою переносу початку координат у базову точку X* і вибору одиниці відліку ΔX_i по кожній координаті Xi.

(9.3)

Це дає можливість легко побудувати ортогональну матрицю планування й значно полегшує подальші розрахунки, тому що в цьому випадку верхні й нижні рівні варіювання x_iв й x_iн у відносних одиницях будуть рівні відповідно x_iв = +1 й x_iн = -1. Кожний g-й рядок матриці являє собою набір координат точки x_g, у якій проводять m паралельних дослідів і результати спостережень Y_1g,Y_2g,...,Y_mg усереднюють :

(9.4)

Математична модель об'єкта, що виходить у результаті ПФЕ може бути представлена у вигляді :

Y = b₀ + b₁x₁ +...+ b_nx_n + b₁₂x₁x₂ + b_1...nx₁...x_n (9.5)

Оцінки коефіцієнтів рівняння регресії

(9.6)

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

1. Попередньо ознайомитися з теоретичними відомостями і вникнути в суть виконуваної роботи.

2. Отримати індивідуальне завдання у викладача.

3. Використовуючи теоретичні відомості, виконати всі розрахунки: побудувати матрицю планування експерименту ; розрахувати коефіцієнти b₀, b₁, b₂ , b_{12 ;} скласти рівняння регресії та представити у графічному вигляді отримані залежності.

4. Зробити висновки.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке повний факторний експеримент?

2. Що таке цільова функція?

3. Вимоги до факторів?

4. Що таке фактор?

ЛІТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. – М.: Металлургия. 1969. – 160 с.

2. Душинский В.В., Пуховский Е.С., Радченко С.Г. Оптимизация технологических процессов в машиностроении. – К. : Техника, 1977. – 176 с.

3. Рыжов Э.В., Горленко О.А. Математические методы в технологических исследованиях. - К: Наук. думка, 1990. -184 с.

Лабораторна робота № 10

Використання теорії планування експерименту

для побудови та дослідження математичних моделей

Мета роботи

Засвоїти методику планування експерименту для отримання моделей технологічних систем і навчитися їх досліджувати з метою удосконалення або розробки їх підсистем.

Прилади і матеріали: персональний комп’ютер типу ІВМ PС,програма PLAN2.exe.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розвиток математичної статистики та її широке проникнення в техніку та в різноманітні сфери науки дали можливість створити математичну теорію експерименту. За допомогою цієї теорії розв’язуються різноманітні питання експериментальних досліджень, в тому числі математичне планування експерименту, оптимізації технологічних процесів та інше.

Сутність методу полягає в тому, що на основі обмеженої кількості проведених експериментів встановлюється кореляційна залежність між показниками процесу та вихідними параметрами продукції.

Останнім часом отримали широкий розвиток математичні моделі, якими є рівняння, що виражають залежність параметра оптимізації (Y) від факторів (х₁, х₂, … , х_k):

. (10.1)

Наведена функція отримала назву функції відгуку – функція, яка характеризує процес, що досліджується.

При оптимізації створюваних, або вже існуючих складних технологічних процесів, при дослідженні нових матеріалів необхідно завжди прагнути, щоб при найменших витратах матеріальних засобів та часу отримати найбільш повну та точну інформацію про вплив кожного досліджуваного фактора на функцію відгуку (параметр оптимізації). Тому, на першому етапі дослідження завжди перевіряється можливість описати досліджуваний процес за допомогою лінійної моделі, яка може бути використана для передбачення значення досліджуваної функції в різних точках обраного факторного простору (інтерполяційна модель) або для пошуку області оптимуму “методом крутого сходження”. Для знаходження лінійної моделі застосовуються плани 1-го порядку.

В кожному досліді окремий фактор може приймати тільки одне із декількох значень, які називаються рівнями.

Найбільш розповсюдженим планом цієї групи є повний факторний експеримент (ПФЕ), в якому кожний рівень одного фактора комбінується зі всіма рівнями решти факторів. Для отримання лінійної моделі кількість рівнів варіювання r всіх факторів приймається сталим та мінімально можливим (r=2). Такі плани називаються ПФЕ типу 2^k, де k – кількість досліджуваних факторів.

Так як мають місце неконтрольовані випадкові збурення, то зміна носить випадковий характер, а тому для отримання математичного описання в цьому випадку застосовуються методи регресивного аналізу на основі статистичних даних, які накопичені в результаті постановки експерименту.

При дослідженні технологічних процесів виготовлення або ремонту деталей в якості вихідних параметрів приймають: продуктивність, точність, якісні характеристики. Під оптимізацією потрібно розуміти найкраще розв’язання поставленої задачі, яке зводиться до знаходження екстремуму, тобто мінімуму або максимуму однієї або декількох змінних величин.

Оптимальний варіант обирають за допомогою цільової функції (критерію оптимізації), під якою розуміють функцію, екстремум значення якої потрібно встановити. Реалізація методу математичного планування експерименту передбачає чітке розділення факторів на залежні та незалежні, на керовані та некеровані.

За попередньо проведеними експериментами та дослідженнями знаходять допустимі межі зміни режимів х₁, х₂, х₃, х₄, а саме верхній (+) та нижній (–) рівні процесу. На основі даних дослідів складають матрицю багатофакторного експерименту та рівняння регресії, загальний вид якого наступний:

. (10.2)

Вільний член рівняння а_о та коефіцієнти а_і відповідно знаходяться за формулами:

, (10.3)

, (10.4)

де n – кількість дослідів;

Y_iекс – експериментальне значення цільової функції.

При складанні матриці планування (таблиця 10.1) ПФЕ переходять до кодованих значень кожного фактора, що дозволяє здійснити лінійне перетворення координат факторного простору з переносом початку координат в центр досліджуваної області та вибором масштабів за новими осями в одиницях інтервалів варіювання факторів, тобто план набуває стандартної форми. Для цього використовується залежність:

, (10.5)

де х_k – кодоване значення k – го фактора;

х_і – поточне значення і – го фактора;

х_о – основний рівень зміни фактора;

∆х – інтервал варіювання фактора.

. (10.6)

Основні рівні та інтервали варіювання для факторів можуть бути вибрані на основі апріорних даних, на основі аналізу літературних джерел або на основі результатів раніше проведених експериментів. Після обробки даних багатофакторних експериментів можуть бути отримані математичні моделі процесу в простій матричній формі, які відображають зв’язки досліджуваних факторів з вихідними параметрами.

Таблиця 10.1 – Матриця планування експерименту для

№	X1	X2	X3	Y
1 … 8					Ядро матриці планування
9 … 14					Зоряні точки
15 16 17					Нульові точки

Незалежно від кількості факторів для отримання оптимальної математичної моделі необхідно, щоб матриця ПФЕ мала наступі властивості:

1. Симетричність відносно центра експерименту: алгебраїчна сума елементів вектор-стовпця кожного фактора дорівнює нулю, тобто:

, (10.7)

де j – номер фактора j =1, 2, … , k;

i – номер досліду;

N – кількість дослідів.

2. Умова нормування даних: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює кількості дослідів, тобто:

. (10.8)

Це свідоцтво того, що значення факторів в матриці задаються +1 та –1.

3. Ортогональність матриці планування: сума по членних добутків любих двох вектор-стовпців дорівнює нулю, тобто:

, (10.9)

де j ≠ u, j,u = 0, 1, 2, … , k.

Як відомо, будь – яку довільну функцію, якщо вона не має нескінчених розривів, можна розкласти в ступеневий ряд Тейлора. Тому в теорії експерименту частіш усього математичний опис представляється у вигляді поліному шляхом розкладу в ряд Тейлора:

(10.10)

де b_о, b_j, b_ij, b_jj – сталі коефіцієнти рівняння, оцінки яких потрібно визначити в результаті постановки та проведення пасивного експерименту;

n – кількість найбільш суттєвих вхідних величин, які отримані в результаті відсіюючого експерименту.

Так як для обробки даних з метою відшукування оцінок коефіцієнтів рівняння (6.10) та для статичної оцінки результатів пасивного експерименту застосовуються методи регресивного аналізу, то повинен бути виконаний ряд передумов:

1. Результати спостережень у₁, у₂, … , у_n вихідної величини в точках факторного простору є незалежні випадкові величини, які розподілені за нормальним законом, а процес зміни повинен бути стаціонарним в часі.

2. Дисперсії цих випадкових величин повинні бути рівні одна до одної (вибіркові оцінки S²_lоднорідні).

3. Всі значення вхідних величин x_j( ) повинні вимірюватись зі зневажаючи малою помилкою в порівнянні з помилкою вимірювання вихідної величини .

4. Вхідні величини x_j( ) не повинні бути корельовано між собою.

5. Всі сусідні вимірювання по кожній j-тій вхідній величині повинні бути незалежними.

Кількість коефіцієнтів рівняння визначають об’єм експерименту. Тому вибирають такий поліном, який містить якомога менше коефіцієнтів, але задовольняє вимозі простоти та адекватності, під якою розуміється здатність моделі прогнозувати результати експерименту в деякій області з потрібною точністю.

В загальному випадку, для будь-якої кількості факторів коефіцієнти рівняння регресії обчислюються за формулою:

, (10.11)

де j = 0, 1, 2, 3, ... , k – номер фактора (нуль записаний для обчислення b₀).

Якщо матриця планування є симетричною, то , тоді після відповідних скорочень формули для обчислення коефіцієнтів матимуть вигляд:

, (10.12)

(10.13)

і т.д.

Обчислення коефіцієнтів при ефектах взаємодії двох факторів здійснюється за формулою:

, (10.14)

де u, j = 1, 2, 3, ... , k – номери факторів, u ≠ j.

Послідовність планування досліду

Існують попередній та основний етапи:

Попередній включає в себе вивчення та аналіз всіх даних.

Дослідник повинен:

1. Скласти повний перелік факторів (краще в дослід включати більше, ніж щось виключати).

2. Задатися приблизними межами зміни факторів.

3. Потрібно вибрати параметр оптимізації у відповідності з поставленою задачею.

4. Вибрати математичну модель, яка включає цільову функцію та обмеження.

Основний етап включає:

1. Планування досліду.

2. Проведення досліду.

3. Проводять обробку результатів досліду.

4. Інтерпретація результатів досліду.