Курсова робота

ВИПАДКОВІ СИГНАЛИ І ЗАВАДИ

Вивчаючи розділи дисципліни „Ймовірнісні основи обробки сигналів та даних”, студенти виконують курсову роботу, що складається з чотирьох завдань.

Завдання 1 Характеристики випадкових величин

Задано одновимірну щільність розподілу ймовірностей випадкової величини . Знайти математичне сподівання, дисперсію і одновимірну функцію розподілу ймовірностей цієї випадкової величини .

Побудувати графіки одновимірних щільності розподілу і функції розподілу ймовірностей випадкової величини . Щільності розподілу задані в табл. 1.

Таблиця 1

Номер варіанта	Щільність розподілу імовірностей	Область значень випадкового процесу	Заданий параметр
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Номер варіанта завдання відповідає останній цифрі номера студентського квитка. Значення заданого параметра розподілу відповідає передостанній цифрі номера студентського квитка (якщо передостання цифра дорівнює нулеві, то значення заданого параметра вибирають рівним 10).

Методичні вказівки

Основні співвідношення до завдання 1 наведені в літературі: [1, с. 136 - 141]; [2, с. 31 - 67]; [3, с. 31 - 62].

Математичне сподівання випадкової величини визначають за формулою:

,

де - щільність розподілу ймовірностей випадкової величини; межі інтегрування і визначаються межами області значень випадкової величини (див. третю колонку у табл. 1).

Формула для визначення дисперсії має вигляд:

.

Зв'язок між функцією розподілу і щільність розподілу ймовірностей визначається співвідношенням:

Завдання 2 Перетворення випадкових сигналів

На безінерційне радіотехнічне коло діє стаціонарний випадковий сигнал . Знайти у загальному вигляді щільність розподілу сигналу на виході цього пристрою, якщо відома щільність розподілу ймовірностей (див. табл. 1) вхідного випадкового сигналу та задано зовнішню характеристику пристрою (табл. 2).

Побудувати графік залежності .

Номер варіанта у табл. 2 дорівнює числу ,

де - передостання, а - остання цифри номера студентського квитка.

Методичні вказівки

Основні співвідношення до завдання 2 наведені в роботах [1, с. 141]; [2, с. 76 - 91]; [3, с.1 70 - 183].

Якщо функціональний зв'язок між та взаємно однозначний, то закон розподілу визначається за формулою (9).

де - функція, обернена функції

Таблиця 2

Номер варіанта	Характеристика радіотехнічного кола
0
1
2	,
3	,
4	,
5	,
6	,
7	,
8	при
9	при

Якщо ж функція така, що обернена їй функція неоднозначна, то у цьому випадку формула знаходження щільності набуває вигляду:

,

де - -та гілка оберненої функції; - кількість гілок оберненої функції.

Завдання 3 Оцінка параметрів розподілу

Використовуючи таблицю нормально розподілених випадкових чисел (див. додаток), одержати реалізацію вибірки , де , мають один і той же нормальний розподіл з параметрами і Обсяг вибірки .

Знайти:

а) варіаційний ряд і емпіричну функцію розподілу (побудувати її графік і графік теоретичної функції розподілу);

б) гістограму (побудувати її графік і графік теоретичної щільності розподілу ймовірностей);

в) точкові оцінки математичного сподівання , дисперсії ;

г) довірчий інтервал для математичного сподівання з довірчим коефіцієнтом (вважати невідомим).

Методичні вказівки

Варіант завдання кожного студента визначається відповідним вибором значень математичного сподівання і дисперсії . Їх знаходять відповідно за формулами , де - остання і - передостання цифри номера студентського квитка.

У додатку подані нормально розподілені числа з і . Щоб отримати вибірку з математичним сподіванням і , необхідно кожне із 30 вибраних і з таблиці чисел¹ помножити на число, що дорівнює , і до отриманого результату додати . Отримані числа і будуть представляти шукану для даного варіанта вибірку.

Формула для знаходження точкової оцінки математичного сподівання має вигляд:

.

Точкова оцінка дисперсії, коли відоме значення математичного сподівання , знаходиться за формулою

.

В тому випадку, коли дисперсія невідома, точкова оцінка дисперсії знаходиться згідно з наступною формулою:

.

Можна також скористатися підручником [4, с. 404, формули (14.97), (14.98)]. Знаходження довірчого інтервалу викладене в [4, с. 408] і [5, с. 121 - 122]. Методи побудови емпіричних функцій розподілу і гістограм розглянуті в [5, с. 81 - 82], [6, с. 431}, [4, с. 385 - 386].