- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
Интегрирование функций комплексного переменного
1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
Пусть на комплексной плоскости задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , вдоль которой определена функция .
Замечание. Дуга называется гладкой, если она может быть задана непрерывно-дифференцируемой функцией. Кривая, состоящая из конечного числа гладких дуг, называется кусочно – гладкой.
Разобьем эту кривую на частей точками , пронумерованными в направлении от - начальной точки кривой , до - конечной точки . Обозначим через ( ). В каждой части выберем произвольно точку ( ) и составим сумму:
,
которую назовем интегральной суммой.
Устремим в бесконечность так, чтобы .
Определение. Если существует предел интегральной суммы при условии произвольного способа разбиения кривой на части, произвольного выбора точек ( ) и при условии , то этот предел называется интегралом от функции по дуге (контуру) и обозначается:
.
Из определения интеграла следует, что его значения зависят не только от функции , но и от пути интегрирования Г. Если кривая замкнутая (точки и совпадают), то интеграл обозначают символом: .
Если функция непрерывна вдоль кривой , то интеграл существует.
Пусть и ,
тогда
.
Таким образом, интеграл от функции комплексного переменного равен сумме двух криволинейных интегралов 2-го рода от вещественных функций:
.
Если кривая задана параметрическим уравнением:
(или ), тогда:
.
Замечание. Довольно часто в качестве параметра выбирают угол: .
Поскольку интеграл от функции комплексного переменного сводится к криволинейным интегралам второго рода от действительных функций, то его свойства будут аналогичны известным свойствам криволинейных интегралов:
,
где и - один и тот же контур, проходимый в положительном и отрицательном направлениях (в качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимается направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения).
.
.
.
Если вдоль кривой : , и длина кривой есть , то .
, - дифференциал длины дуги.
Пример. Вычислить интеграл , где - дуга параболы от точки 0 до точки .
Решение. Так как для всех точек кривой имеем: , то
Пример. Вычислить интеграл , где - часть окружности , .
Решение.
1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
Мы уже отмечали, что условия, при выполнении которых функция является аналитической, достаточно жесткие. Это и обуславливает справедливость следующей теоремы.
Теорема 2 (Теорема Коши). Если - односвязная область комплексной плоскости и - однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой кривой , лежащей в области , интеграл от вдоль равен нулю: .
Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной области.
Из теоремы 2 вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых и с общим началом и концом имеют равные значения.
В самом деле, кривая является замкнутой, и, следовательно,
откуда
Это означает, что интеграл от функции , аналитической в односвязной области , не зависит от кривой (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой , соединяющей точки и , можно пользоваться обозначением .
Рассмотрим интеграл от аналитической функции, если конечная точка – переменная, т.е. есть некоторая функция от верхнего предела:
Можно показать, что - аналитическая функция, и что ее производная равна . Таким образом, интеграл является первообразной для подынтегральной функции (определение первообразной аналитической функции аналогично определению первообразной функции действительной переменной).
И это позволяет сделать вывод о справедливости формулы Ньютона-Лейбница:
,
здесь - одна из первообразных функции , ( ).
Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции к отысканию какой-либо первообразной функции и, следовательно, использовать известные формулы и методы интегрирования функций действительной переменной. В частности, если и аналитические функции, то будет справедлива формула интегрирования по частям:
.
Пример. Вычислить интеграл
Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому воспользуемся формулой интегрирования по частям:
= =
=
Аналитические функции комплексного переменного обладают следующим замечательным свойством:
Теорема 3. (Интегральная формула Коши) Если - внутренняя точка односвязной области , ограниченной замкнутым контуром , - аналитическая в замкнутой области функция, то справедлива формула:
Иными словами, если мы знаем значение аналитической функции на границе односвязной области, то мы можем найти значение этой функции в любой внутренней точке области.
Более того, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если однозначная функция комплексного переменного имеет всюду в области первую производную, то она имеет в этой области и все производные высших порядков, которые могут быть найдены по формуле:
Интегральную формулу Коши и формулу для производных высших порядков можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию . Аналитичность этой функции нарушается в точках: (точки, в которых знаменатель равен 0). Контур, по которому вычисляется интеграл: , есть окружность с центром в точке и радиусом 3. Внутри этого контура лежит точка , поэтому внутри контура подынтегральная функция не является аналитической. Запишем эту функцию в виде: . Тогда функция является аналитической внутри замкнутого контура. Воспользуемся интегральной формулой Коши:
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках . Внутри контура есть только одна из них: . Преобразуем подынтегральную функцию к виду:
.
Функция - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить теорему 4 (в данном случае ):