46

ББК 22.17я7

К - 64

УДК 519.2

Кондауров М.Т. Методические рекомендации студентам по подготовке к тестированию по математике. Н.Новгород: ВГИПУ, 2009, - 48с.

Методические рекомендации предназначены для студентов, готовящихся к тестированию по математике. Рассмотрены 40 заданий демонстрационного варианта для специальности 190701.65-Организация перевозок и управление на транспорте. Для каждого задания приведен справочный материал из курса математики, решение и ответ.

Пособие может быть полезно для студентов других специальностей, у которых программа курса математики близка к программе специальности 190701.65.

© М.Т.Кондауров, 2009

© ВГИПУ

П Р Е Д И С Л О В И Е

При подготовке к Интернет-экзамену по математике студентам полезно ознакомиться с демонстрационным вариантом заданий, составленном из 40 заданий по десяти темам, которые в тексте названы дидактическими единицами (по 4 задания на каждую дидактическую единицу). Среди сорока заданий более половины требуют от студента выбирать один вариант ответа из приведенных, около четверти заданий предполагают выбор нескольких ответов из приведенных; имеются задания, для которых нужно дать числовой ответ, а также задания, для которых нужно установить соответствие между предложенными заданиями и приведенными ответами.

В настоящих методических рекомендациях содержатся полный текст всех сорока заданий. Перед каждым заданием приведен справочный материал из курса математики, необходимый для выполнения данного задания. Далее приводится полный текст задания (текст полностью совпадает с подлинником в Интернете), решение задания и ответ.

При работе с данным пособием студентам рекомендуется внимательно отнестись к справочному материалу с тем, чтобы хорошо разобраться в решении рассматриваемого задания и быть готовым применить тот же материал к аналогичному заданию на Интернет-экзамене.

Можно предположить, что задания Интернет-экзамена составлены на те же дидактические единицы, однако данные (числовые, функциональные и т.п.) в заданиях будут другими. Кроме того, порядок предъявления заданий по типам дидактических единиц для двух различных пользователей Интернета может быть разным: для одного начальные задания, например, по линейной алгебре, а для другого - по другой теме. Ввиду этого студентам рекомендуется, рассмотрев четверку родственных заданий, заново разобраться в теории, привлеченной для решения этих заданий, с тем, чтобы быть готовым определить, на какую дидактическую единицу ориентировано очередное задание, и справиться с этим заданием.

ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ

N ДЕ	Наименование дидактической единицы ГОС	N задания	Тема задания
1	Линейная алгебра	1	Вычисления определителей
		2	Умножение матриц
		3	Системы линейных уравнений: основные понятия
		4	Квадратичные формы
2	Абстрактная алгебра	5	Основные алгебраические структуры
		6	Линейные отображения
		7	Векторные пространства
		8	Алгебра многочленов
3	Аналитическая геометрия	9	Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
		10	Кривые второго порядка
		11	Полярная система координат
		12	Прямая и плоскость в пространстве
4	Дифференциальная геометрия	13	Дифференциальная геометрия кривых
		14	Дифференциальная геометрия поверхностей
		15	Элементы топологии
		16	Кривизна плоской кривой
5	Математический анализ	17	Предел функции
		18	Производные первого порядка
		19	Приложения дифференциального исчисления ФОП
		20	Свойства определенного интеграла
6	Комплексный анализ	21	Формы записи комплексного числа
		22	Операции над комплексными числами
		23	Определение функции комплексного переменного
		24	Дифференцирование функций комплексного переменного
7	Дифференциальные Уравнения	25	Типы дифференциальных уравнений
		26	Дифференциальные уравнения первого порядка
		27	Дифференциальные уравнения высших порядков
		28	Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
8	Теория вероятностей	29	Основные понятия теории вероятностей
		30	Теорема сложения и умножения вероятностей
		31	Полная вероятность. Формула Байеса
		32	Непрерывная случайная величина
9	Математическая статистика	33	Статистическое распределение выборки
		34	Точечные оценки параметров распределения
		35	Элементы корреляционного анализа
		36	Проверка статистических гипотез
10	Дискретная математика	37	Элементы алгебры логики высказываний
		38	Элементы теории множеств
		39	Элементы комбинаторики
		40	Основные понятия теории графов

Д Е М О Н С Т Р А Ц И О Н Н Ы Й В А Р И А Н Т С Р Е Ш Е Н И Я М И

1 Определитель второго порядка матрицы

вычисляется по формуле: det А=

П римеры: 1) =1∙4-2∙2=0; 2) =0; 3) = .

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(1)

где А₁₁= , А₁₂= , А₁₃= (здесь алгебраические дополнения элементов первой строки выражаются через миноры второго порядка этих элементов: A₁₁=M₁₁, A₁₂=-M₁₂, A₁₃=M₁₃).

Для того чтобы найти алгебраическое дополнение элемента a_ij квадратной матрицы третьего порядка, нужно вычеркнуть этот элемент вместе с i-ой строкой и j-ым столбцом и составить определитель второго порядка из невычеркнутых элементов, т.е. минор M_ij; значение алгебраического дополнения A_ij, в случае, когда i+j являются четным числом, совпадает со значением M_ij, а в случае, когда i+j является нечетным числом, равно –M_ij.

Задание N1 (выберите один вариант ответа)

2 1 -7

Разложение определителя 3 0 2 по третьей строке имеет вид:

3 2 1

Варианты ответов:

1) = -3 - 2 -

2) = 3 +2 +

3) = 3 - 2 +

4) = -3 +2 -

Р Е Ш Е Н И Е

Элементы третьей строки a₃₁=3,a₃₂=2,a₃₃=1; их алгебраические дополнения A₃₁=M_31, A₃₂₌-M₃₂, A₃₃=M₃₃. Сумме произведений a₃₁A₃₁₊a₃₂A₃₂₊a₃₃A₃₃, очевидно, соответствует ответ 3.

О Т В Е Т: 3.

Если в задании 1 третью строку заменить другой строкой (или) столбцом, то для разложения определителя нужно элементы этой строки (или столбца) умножить на их алгебраические дополнения (A_ij=(-1)^i+jM_ij) и найти сумму этих произведений. Формула (1) соответствует разложению определителя по первой строке.

2 При умножении матриц по правилу «строка на столбец» должно быть следующее соответствие: число элементов в строке первой матрицы должно быть равно числу элементов в столбце второй матрицы. Если это не выполнено, то произведение таких матриц не имеет смысла.

ЗАДАНИЕ №2 (выберите несколько вариантов ответа)

Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида...

В арианты ответов:

2 1 2 1 1 0

1) ∙ (-2 3) 2) ∙

3 0 3 0 2 3

2 1 3 1 7 2 1

3) (-2 3) ∙ 4) ∙

3 0 3 1 0 3 0

2 1 3 1 7

5) ∙

3 0 3 1 0

Р Е Ш Е Н И Е

В ответах 1) и 4) , очевидно, «длины строк» первых матриц и «длины столбцов» вторых матриц не одинаковы. Поэтому произведение матриц в 1) и 4) не имеют смысла.

Условие выполнено в ответах 2, 3, 5.

О Т В Е Т: 2, 3, 5.

3 Если в системе однородных линейных уравнений

a₁₁x₁₊a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_nnx_n=0,

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=0

ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (r<n) , то n-r неизвестных нужно объявить свободными, а базисными неизвестными выбрать те r неизвестных, коэффициенты которых образуют определитель r-того порядка не равный нулю.

ЗАДАНИЕ №3(введите ответ)

Разность между числом базисных и свободных переменных системы уравнений

2 х₁-3х₂+х₃-х₄+х₅=0

х₂+2х₃+х₄-х₅=0 равна...

х₃-2х₄ =0

Р Е Ш Е Н И Е

Нетрудно вычислить определитель из коэффициентов при переменных х₁, х₂, х₃:

2 -3 1

0 1 2 = .

0 0 1

На основании этого результата делаем выводы: базисные неизвестные х₁, х₂, х₃, а свободные – х₄, х₅. Для ответа нужна разность между числом базисных и свободных переменных, т.е. 3-2=1.

О Т В Е Т: 1.

а₁₁ а₁₂

4 Матрице , где а₁₂=а₂₁, соответствует квадратичная форма

а₂₁ а₂₂

а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у₂,

которую можно представить в виде следующего матричного произведения

а ₁₁ а₁₂ х

(ху) = а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у².

а₂₁ а₂₂ у

ЗАДАНИЕ №4 (выберите один вариант ответа)

Матрице соответствует квадратичная форма ...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 10х²-9ху+10у² 2) 2х²+3ху+5у²

3) 2х²+9ху+5у² 4) 2х²+6ху+5у²

Р Е Ш Е Н И Е

В данной матрице элементы а₁₁=2, а₂₂=5 являются в квадратичной форме коэффициентами при х² и у², соответственно, а элементы а₁₂ и а₂₁ (здесь а₁₂=а₂₁=3) – коэффициент при ху и ух, т.е квадратичная форма содержит 3ху+3ух=6ху.

Окончательно – данной матрице соответствует квадратичная форма 2х²+6ху+5у².

О Т В Е Т: 4.

5 Числовое множество замкнуто относительно некоторой операции, если результат этой операции над элементами данного множества, т.е. полученное число, принадлежит этому множеству. Например, множество Z целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения.

ЗАДАНИЕ №5 (выберите несколько вариантов ответа)

Множество Z целых чисел замкнуто относительно операций...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) Извлечение корня 2) вычитание

3) Умножение 4) деление

Р Е Ш Е Н И Е

Ясно, что при извлечении корня (например, квадратного) из целого числа (например, ) мы не всегда получим целое число. При делении целых чисел также можем получить не целое число. В то же время разность и произведение двух целых чисел будет целым числом, т.е. будет принадлежать Z.

О Т В Е Т: 2, 3.

6 ЗАДАНИЕ №6 (выберите один вариант ответа)

Линейное отображение задано в стандартном базисе матрицей А=

Т огда координатами образа вектора х = являются...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

Чтобы найти образ вектора х при линейном отображении, матрица которого

р авна матрице А, нужно найти произведение А на х = . В данном случае

-3 4 -2 18

= =

5 -6 3 -28 (Здесь выполнено умножение матриц по правилу «строка на столбец»).

О Т В Е Т: 3.

7 Любая тройка линейно независимых векторов может служить базисом в трехмерном пространстве. Такую тройку еще называют некомпланарной тройкой. Если тройка векторов является компланарной, то такая тройка не может быть базисом.

ЗАДАНИЕ №7 (выберите несколько вариантов ответа)

Тройка векторов, образующих базис в пространстве, изображена на рисунках...

В АРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1 ) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

На рисунках 1, 4 изображены компланарные тройки (каждая из них содержит пару коллинеарных векторов), они не могут служить базисами.

На рисунках 2, 3, очевидно, изображены некомпланарные тройки. Каждая из них может служить базисом.

О Т В Е Т: 2, 3.

8 ЗАДАНИЕ №8 (выберите один вариант ответа)

Число действительных корней многочлена Р₅(х)=(х³-1)(х²-4х+5) с учетом их крайностей равно...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 1 2) 2

3) 5 4) 3

Р Е Ш Е Н И Е

Корни данного многочлена надо искать среди корней его множителей

х³-1 и х²-4х+5. Первый из них имеет один действительный корень х₁=1, а второй не имеет действительных корней, что можно определить по дискриминанту Д=b²-4ac=16-20= - 4<0.

О Т В Е Т: 1.

9 ЗАДАНИЕ №9 (выберите несколько вариантов ответа)

Дана координатная ось. Правильными утверждениями являются...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) координата двух точек 2) начало координат может

координатной оси, лежащей по лежать на отрезке, соединя-

разные стороны от начала отсчета, -ющем две точки координат-

всегда имеют разные знаки -ной оси, имеющих отрица-

тельные координаты

3) из двух различных точек 4) координата точки на оси равна

координатной оси, имеющих расстоянию от этой точки до

отрицательные координаты, дальше начала отсчета

от начала координат лежит точка,

имеющая меньшую координату

Р Е Ш Е Н И Е

Полезно сопоставить каждое из предложенных утверждений с координатной осью Ох, чтобы убедиться

-2 -1 0 1 2 х

в правильности утверждений 1 и 3. Утверждения 2 и 4 являются неправильными.

О Т В Е Т: 1, 3.

10 Каноническое уравнение эллипса

задает эллипс с осями 2а (большая ось) и 2b (малая ось), фокусы F₁ и F₂ эллипса лежат на оси Ох. При этом расстояние между фокусами равно 2с, где с= .

ЗАДАНИЕ №10 (введите ответ)

Расстояние между фокусами эллипса =1 равно...

Р Е Ш Е Н И Е

Имеем, а=10,b=4; найдем

Расстояние между фокусами F₁F₂=2c= =12.

О Т В Е Т: 12.

1 1 Точка М(х,у) с декартовыми координатами имеет полярные координаты r= и φ=<МОх. При этом Cosφ = , Sinφ= .

y M

r у

₀ ^φ x

^х

З АДАНИЕ №11 (выберете один вариант ответа)

Точка М с декартовыми координатами имеет полярные координаты

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) r= , φ= 2) r=1, φ=

3) ) r= , φ= 4) r=2, φ=

Р Е Ш Е Н И Е

На плоскости хОу строим точку М .

y

Находим r= =1; Cosφ= ,

М Sinφ= ,

φ=30⁰=

0 ^{30° х} О Т В Е Т: 2.

Если точка М (х,у) окажется в другой четверти Оху, то угол φ нужно находить с учетом знаков Cosφ и Sinφ.

12 Уравнение Ах+By+Cz+D=0 задает в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz плоскость П. Если все коэффициенты A, B,C,D не равны нулю, то это уравнение называют полным уравнением. Если хотя бы один из перечисленных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным; такое уравнение задает плоскость П, имеющую некоторую особенность своего положения в пространстве. Так, например, при D=0 уравнению Ax+By+Cz=0 удовлетворяет таки О(0,0,0). Это означает, что плоскость П проходит через начало координат. При А=0 плоскость П параллельна оси Ох и т.д.

ЗАДАНИЕ №12 (выберите варианты согласно тексту задания)

Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве

1. -2х+11=0

2. 3у+2z=0

3. 3y+7=0

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

А) плоскость хОу В) параллельна плоскости уОz

C) параллельна плоскости хOz D) проходит через ось х

Р Е Ш Е Н И Е

1. Уравнение не содержит у и z. Значит оно задает плоскость П, параллельную оси Оу и оси Оz, т.е. параллельную координатной плоскости уОz (соответствует ответу b).

2. В этом уравнении А=0 и D=0. Оно задает плоскости П, которая параллельна оси Ох и проходит через начало координат. Значит эта плоскость проходит через ось Ох (соответствует ответу d).

3. Здесь А=0, С=0 => П║хOz (соответствует ответу с).

13 Если уравнение второй степени можно привести к виду (х-х₀)²+ +(у-у₀)²=R², то оно задает окружности радиуса R, с центром в точке С (x₀, y₀).

ЗАДАНИЕ №13 (выберите один вариант ответа)

Радиус окружности, заданной уравнением х²+у²+4у+3=0, равен ...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 4 2) 1

3) 3 4) 2

Р Е Ш Е Н И Е

Выделяя полный квадрат, получаем х²+(у+2)²=1, откуда следует, что R=1.

О Т В Е Т: 2.

1 4 Уравнение =1 задает в пространстве Oxyz сферу радиуса R с центром в начале координат.

Если в уравнении =1 знаменатели равны (а=b=c=R), то оно задает ту же сферу; если же эти знаменатели не равны, то это уравнение задает «сплюснутую» сферу, которая называется эллипсоидом, так как сечения этой поверхности плоскостью будут некоторыми эллипсами.

ЗАДАНИЕ №14 (выберите один вариант ответа)

Поверхность, определяемая уравнением =1, является...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: