Метрология

С О Д Е Р Ж А Н И Е .

1 ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ, ПОГРЕШНОСТИ И ТОЧНОСТИ. 27

Измерение (ГОСТ 16263-70) - нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. 27

Метрология - это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. 27

Физическая величина - это свойство, общее в качественном от­ношении множеству объектов и индивидуальное в количественном отно­шении у каждого из них. 27

Погрешность измерения - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. 27

Определить истинное значение величины, то есть такое значе­ние, которое идеальным образом отражало бы в качественном и коли­чественном отношении соответствующее свойство объекта, не представ­ляется возможным. На практике определяется действительное значение величины - значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него. 27

Результат измерения - оценка измеряемой величины в виде неко­торого числа принятых для нее единиц полученная путем измерения. 28

Итак, если x - результат измерения, X - истинное значение из­меряемой величины, то абсолютная погрешность измерения. 28

∆ = х - Х . 28

Относительная погрешность - выражается в долях истинного зна­чения измеряемой величины (либо в %) : 28

28

Точность измерений по ГОСТ 16263-70 определяется как качество измерений, отражающее близость полученного измеренного значения к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность ха­рактеризуется числом, равным обратному значению относительной пог­решности, выраженной в долях измеряемой величины : 28

28

При γ =0.001 точность измерений равна 1000. В метрологии и при практических измерениях точность, как правило, количественно не оце­нивается, а характеризуется косвенно, с помощью погрешности измере­ния. 28

2 КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ 29

По способу получения числового значения искомой величины (иначе, по характеру уравнения измерения) измерения делят на пря­мые, косвенные, совокупные и совместные. Такая классификация важна с точки зрения обработки экспериментальных данных и расчета пог­решностей. 29

При прямом измерении искомое значение величины находят не­посредственно из опытных данных, то есть прямо по шкале прибора (иногда показания прибора умножают на некоторый коэффициент, вво­дят соответствующие поправки и так далее). 29

Например, измерение температуры стеклянным термометром, дли­ны - метром, тока - амперметром и так далее. 29

При этом простота и сложность процесса измерений во внимание не принимаются. Существенным признаком прямых измерений является то, что результат выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина. 29

При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величи­ны находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, которые находят в результате прямых, а иногда и кос­венных совместных или совокупных измерений. 29

Например, нахождение плотности твердого тела как отношение массы тела к его объему, причем, масса и объем измеряются непос­редственно; нахождение удельного электрического сопротивления про­водника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения; измерение расхода жидкости по перепаду давления в сужающем уст­ройстве. 29

Таким образом, косвенное измерение всегда связано с расчетом (однако внесение поправки не превращает прямое измерение в косвен­ное). 29

Прибегать к косвенным измерениям приходится тогда, когда ис­комую величину невозможно или сложно измерить непосредственно пу­тем прямого измерения. 29

При совокупных измерениях производятся одновременно измере­ния нескольких одноименных величин. Искомые значения величин нахо­дят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин. 29

СОВМЕСТНЫЕ - это производимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними. 29

Например, измерение, при котором массы отдельных гирь набора находят по известной массе одной из них и по результатам сравнения масс различных сочетаний гирь данного набора - это совокупное из­мерение. При этом искомые значения масс гирь определяют решением системы уравнений. Пример совместного измерения - определение тем­пературных коэффициентов резисторов. 29

Путем решения двух линейных уравнений с двумя неизвестными : 29

R_{t1 =} R_{0 +} αR₀ t_{1 +} βR₀ t₁² 29

R_{t2 =} R_{0 +} αR₀ t_{2 +} βR₀ t₂² 29

определяют α и β 29

Здесь R_t1, R_t2, t₁, t₂ являются величинами, измеряемыми пря­мым путем. Кроме того, измерения называются обыкновенными, если они выполняются с однократным наблюдением и статистическими, если они выполняются многократно. Последние выполняются для уменьшения погрешности. 29

3 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ 30

Погрешности классифицируются по ряду признаков : 30

По способу выражения погрешности разделяются на абсолют­ные, относительные и приведенные. 30

По характеру изменения - систематические, случайные, грубые, промахи. 30

По зависимости от скорости изменения измеряемой величины - статические и динамические. Абсолютные и относительные погреш­ности были рассмотрены ранее. Поскольку значение относительной погрешности γ = ∆/Х зависит от текущего значения Х и при Х = 0 стремится к бесконечности, в измерительной технике было введено понятие приведенной погрешности, равной 30

, 30

где Х _н - нормирующее значение. 30

В качестве нормирующего значения принимают : 30

верхний пре­дел измерений Х _к; 30

диапазон измерений; 30

длину шкалы и другое (смотри дальше). 30

Систематические - это погрешности постоянные или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины. Примером первого вида систематических погрешностей является пог­решность градуировки шкалы, погрешности, возникающие в результате неправильной установки прибора и др. 30

Примером второго типа систематических погрешностей является большинство дополнительных погрешностей, являющихся неизменяющими­ся во времени функциями вызывающих их влияющих величин (температу­ра, напряжение и т. п.). 30

Основное свойство систематических погрешностей состоит в том, что они могут быть почти полностью устранены введением соот­ветствующих поправок. 30

В зависимости от причин возникновения систематические пог­решности делятся на несколько групп: инструментальные, методичес­кие, погрешности от неправильной установки прибора, погрешности, вызываемые условиями эксплуатации, а так же субъективные, завися­щие от индивидуальных свойств человека. 30

Особенностью систематических погрешностей является то, что их присутствие чрезвычайно трудно обнаружить, так как внешне они себя никак не проявляют и поэтому долгое время могут оставаться незамеченными. Единственный способ их обнаружения состоит в повер­ке нуля прибора и поверке чувствительности путем повторной аттес­тации прибора по образцовым приборам. 30

Случайными называются погрешности, неопределенные по своей величине или не достаточно изученные, в появлении значений которых не удается установить какой-либо закономерности. Они определяются сложной совокупностью причин, которые трудно поддаются анализу. Случайные погрешности легко обнаруживаются при повторных измерени­ях в виде некоторого разброса результатов. Для совокупности слу­чайных погрешностей можно указать вероятность появления их различ­ных значений. 30

В подавляющем большинстве случаев процесс появления случай­ных погрешностей есть стационарный случайный процесс. Поэтому слу­чайные погрешности характеризуют законом распределения их вероят­ностей или указанием параметров этого закона. Поскольку большинс­тво составляющих погрешности реальных приборов проявляются именно как случайные, то их вероятностное описание является основным на­учным методом теории погрешностей. 30

Указанное выше разделение погрешностей на систематические и случайные является лишь приемом их анализа. В действительности все эти две составляющие проявляются совместно. 30

Грубые погрешности существенно превышают погрешности, оправ­данные условиями измерения, свойствами примененных средств измере­ний, методом измерений и квалификацией экспериментатора. Такие погрешности могут возникнуть, например, при резком изменении нап­ряжения в сети питания (если оно, в принципе, оказывает влияние на результат измерения). Грубые погрешности обнаруживают статистичес­кими методами и обычно исключаются из рассмотрения. 31

Промахи - следствие неправильных действий экспериментатора. Это, например, неправильный отсчет показаний, ошибка при записи показаний. Промахи обнаруживают нестатистическими методами и их следует всегда исключать из рассмотрения. 31

Причинами возникновения инструментальных погрешностей могут быть : низкое качество изготовления узлов прибора (инструмента), например, трение в опорах подвижной системы, зазоры в сочленениях деталей, неточность изготовления, сборки и регулировки деталей ме­ханизмов, а также изменение с температурой модуля упругости мате­риалов чувствительных элементов, электрических и монтажных сопро­тивлений, линейных размеров деталей приборов (так называемые инс­трументальные температурные погрешности). 31

Однако есть погрешности, которые останутся даже в том случае, если элементы прибора будут идеальными. Так, например, выходной сигнал мостовой неуравновешенной схемы зависит от изменения напря­жения питания. Если вместо неуравновешенной системы применить уравновешенную с нулевым отсчетом, то есть заменить один метод из­мерения другим, тогда указанной методической погрешности не будет. 31

При анализе погрешностей большое значение имеет разделение погрешностей по их зависимости от значений Х измеряемой величины. Если абсолютная погрешность измерения ∆₀ при всех значениях изме­ряемой величины Х постоянна, то такая погрешность называется адди­тивной (в переводе с латинского "получаемая путем сложения") или погрешность нуля. Если она является систематической, т.е. имеет один и тот же знак (положительна или отрицательна), то она может быть скорректирована путем смещения нулевого положения указателя. 31

Если же аддитивная погрешность является случайной, то она не может быть скорректирована, так как принимает одни и те же значе­ния, но различные по знаку. Примерами систематических аддитивных погрешностей являются погрешности от неточной установки приборов на нуль перед измерением, от термо - э.д.с. в цепях постоянного тока и т. п. Пример случайной погрешности - погрешность от трения в опорах измерительного механизма. 31

Если абсолютная погрешность измерения пропорциональна теку­щему значению измеряемой величины Х (может быть систематической и случайной), то такая погрешность называется мультипликативной погрешностью чувствительности. 31

Причинами таких погрешностей могут быть : изменение коэффи­циента усиления усилителя, коэффициента деления делителя и др. 31

Различают также статические и динамические погрешности, т.е. погрешности, зависящие от скорости изменения измеряемой величины во времени. 31

Погрешности, не зависящие от скорости, называются статически­ми. Погрешности, появляющиеся при возрастании скорости, называются динамическими. Последние здесь не рассматриваются. 31

4 СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 32

1.1 Случайные явления и вероятность события 32

1.1 Случайные явления и вероятность события 32

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднок­ратном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по разному. Факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, называется событием. Для численного сравнения событий по степени их возможности вводится понятие вероятности события. В качестве единицы измерения вероятности принимают вероятность дос­товерного события, для которого вероятность равна единице. Пример достоверного события - доставание белого шара из урны, в которой лежат только белые шары. 32

Событие, которое в данном опыте не может произойти, называ­ется невозможным. Ему приписывается вероятность, равная нулю. Все другие вероятные события имеют вероятность больше нуля, но меньше единицы. 32

Вероятность события Р вычисляется как отношение числа бла­гоприятных случаев к общему числу случаев n 32

(4.1) 32

Случай называется благоприятным некоторому событию, если по­явление этого случая влечет за собой появление данного события. Так, например, при бросании монеты вероятность появления герба равна 1/2. 32

Если вероятность нельзя определить теоретически, то ее опре­деляют статистически, т.е. находят частоту событий. 32

Если проведена серия из n опытов и в m из них произошло не­которое событие, то частотой Р^* называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к общему числу опытов : 32

(4.2) 32

При небольшом числе опытов частота носит случайный характер, но с увеличением числа опытов частота приближается к вероятности. 32

На практике часто приходится иметь дело не с достоверными и невоз­можными событиями, а с практически достоверными и практически не­возможными. Это события, вероятности которых близки соответственно к единице и нулю. 32

Указанные события играют важную роль в теории вероятностей. На этих событиях строится принцип практической уверенности : если вероятность некоторого события в данном опыте весьма мала, то можно быть практически уверенным в том, что при однократном выполнении опыта это событие не произойдет. Этот принцип не может быть дока­зан математически, но подтверждается всем практическим опытом чело­века. 32

1.2 Понятие о законе распределения случайной величины 32

1.2 Понятие о законе распределения случайной величины 32

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величи­ны (СВ) равна единице : 32

(4.3) 32

Докажем это на примерах: 32

1. При бросании монеты возможны два случая : выпадение герба или не герба. Вероятность каждого случая равна 1/2. 32

2. При бросании игральной кости вероятность появления любой из шести граней игральной кости равна 1/6, сумма всех вероятностей равна единице. 32

Принято различать случайные величины прерывного (дискретно­го) и непрерывного типа. Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее перечис­лить, называются прерывными или дискретными. Случайные величины , возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежу­ток, называются непрерывными (например, длина отрезка, погрешность измерения). 32

Если Х₁,Х₂,...,Х_n - возможные значения СВ Х, а Р₁,Р₂,...,Р_n - вероятность этих событий, то можно составить таблицу : 33

Таблица 4.1 33

Х_i 33

Р_i 33

Х₁ 33

Р₁ 33

Х₂ 33

Р₂ 33

... 33

... 33

Х_n 33

Р_n 33

Если сумма вероятностей данных значений равна единице, то с вероятностной точки зрения СВ полностью охарактеризована, т.е. ус­тановлен закон распределения СВ. 33

Таким образом, закон распределения - всякое соотношение, ус­танавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствую­щими им вероятностями. Приведенную таблицу называют рядом распре­деления. 33

Для придания ряду наглядного вида по его данным строят мно­гоугольник распределения (Рис.4.1.). 33

Непрерывные величины имеют бесчисленное множество возможных решений. Поэтому весь интервал возможных значений СВ разбивают на ряд меньших интервалов I_i и определяют частоту Р^* попадания в дан­ный интервал. Получают статистический ряд. 33

Таблица 4.2 33

Ii 33

X₁ - X₂ 33

X₂ - X₃ 33

X₃ - X₄ 33

.... 33

X_n-1 - X_n 33

P* 33

P₁* 33

P₂* 33

P₃* 33

.... 33

P_n* 33

По полученным данным строят прямоугольники, основанием кото­рых служат выбранные интервалы, а высота (ордината) определяется как отношение частоты к длине этого интервала. Ступенчатая кривая, огибающая прямоугольники, называется гистограммой (рис.4.2.,а). Площадь под гистограммой равна единице. Если ∆x → 0, то ступенча­тая кривая перейдет в плавную кривую - кривую распределения веро­ятности непрерывной СВ (рис.4.2.). Ординату любой точки кривой принято называть плотностью вероятности Р(х). 33

Для подсчета вероятности попадания СВ в заданный промежуток от а до в необходимо найти заштрихованную площадь как показано на рис.4.2.,б. 33

Для примера рассмотрим два закона распределения - равномер­ный и нормальный (подробно о них смотри дальше). 33

Если непрерывная СВ Х принимает значения в интервале от Х₁ до Х₂ с одной и той же плотностью вероятности (рис.4.3.), то такой закон называется равномерным и записывается так : 33

(4.4) 33

Для нормального закона распределения (закон Гаусса) (рис.4.4.) плотность вероятности описывается выражением : 33

(4.5) 33

где М(х) - математическое ожидание; 33

δ - среднеквадратическое отклонение (см.ниже). 33

Для приведенного на рис.4.4. закона распре­деления М(х) = 0. 33

Из формулы видно, что нормальный закон характеризуется двумя параметрами - математическим ожиданием и среднеквадратической пог­решностью. Математическое ожидание определяет положение распреде­ления по оси абсцисс и не влияет на форму кривой. 33

Параметр δ является характеристикой рассеивания, от него за­висит форма распределения. Наибольшая ордината, равная : 33

обратно пропорциональна δ. Поскольку площадь под кривой распределения всегда равна единице, то при увеличении δ кривая понижается и растягивается вдоль оси абсцисс. 34

Из формы кривой распределения вытекают свойства СВ (погреш­ностей). 34

1. Наибольшая плотность вероятности соответствует погрешнос­ти, равной нулю. 34

2. Погрешности, одинаковые по абсолютной величине, но с раз­ными знаками, равновероятны (кривая симметрична). 34

3. Чем больше погрешность, тем меньше вероятность ее появле­ния. Среднеквадратическая погрешность соответствует такому значе­нию δ, для которого 68% погрешностей будут меньше данной величины и 32% погрешностей будут больше данной величины δ. 34

В теории погрешностей различают также средневероятную (веро­ятную) ρ и среднеарифметическую (по модулю) погрешность υ. 34

Вероятная - это такая погрешность, которая с одинаковой веро­ятностью может быть как превзойдена, так и не достигнута. Иначе говоря, это такая погрешность, для которой 50% всех значений пог­решности меньше ее, а другие 50% - больше. 34

Среднеарифметическая (по модулю) погрешность соответствует такому значению погрешности, для которой 57.5% погрешности будут меньше υ и 42.5% - больше υ. 34

Связаны между собой указанные погрешности следующими соотно­шениями : 34

ρ = 0.6745; (4.6) 34

υ = 0.7979 . (4.7) 34

Причина того, что многие СВ подчиняются нормальному закону распределения, заключается в следующем. Оказывается, что если СВ зависит от многих факторов, каждый из которых, взятый в отдельнос­ти, влияет на эту величину сравнительно мало, то суммарное влияние этих факторов приводит к нормальному распределению СВ. 34

1.3 Числовые характеристики законов распределения 34

1.3 Числовые характеристики законов распределения 34

Для оценки свойств законов распределения используют числовые характеристики, называемые моментами. С помощью числовых характе­ристик можно решать вероятностные задачи, оставляя в стороне зако­ны распределения. 34

Основной характеристикой положения случайной величины на числовой оси, указывающей некоторое среднее значение, вокруг кото­рого группируются все возможные значения случайной величины, явля­ется математическое ожидание М[X], называемое также первым началь­ным моментом. 34

Для дискретных величин математическое ожидание определяется как сумма произведений всех возможных значений x_i на их вероятнос­ти P_i, т.е. 34

(4.8) 34

а для непрерывных величин с плотностью распределения вероятности Р(х) - как интеграл 34

(4.9) 34

Зная математическое ожидание, можно найти случайные отклоне­ния ∆_i = x_i - М[Х] каждого результата наблюдения от математическо­го ожидания. 34

Начальным моментом n -го порядка дискретной величины Х назы­вается сумма вида 34

(4.10) 34

а начальным моментом непрерывной случайной величины - интеграл ви­да 34

(4.11) 34

μ_n[Х] = М[(х - M[Х])ⁿ] (4.12) 35

Второй центральный момент называется дисперсией случайной ве­личины и характеризует рассеяние случайной величины вокруг матема­тического ожидания : 35

μ₂[Х] = D[X] = М[(х - M[Х])²] (4.13) 35

Или иначе, для непрерывных величин 35

, (4.14) 35

для дискретных величин 35

(4.15) 35

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и вы­ражает как бы мощность ее рассеяния. 35

Для наглядной характеристики рассеяния пользуются среднеквад­ратическим отклонением 35

, (4.16) 35

размерность которого совпадает с размерностью случайной величины. Величина δ характеризует действующее значение случайной величины. 35

Третий центральный момент характеризует асимметрию, т.е. ско­шеность распределения. Для симметричных относительно математичес­кого ожидания законов распределения он равен нулю. 35

Четвертый центральный момент характеризует форму, т.е. кру­тизну спадов распределения, а его относительное значение 35

(4.17) 35

называется эксцессом (изменяется от 1 до  ) 35

Часто пользуются величиной 35

(4.18) 35

или 35

, (4.19) 35

называемой контрэксцессом (изменяется от 0 до 1). 35

1.4 Экспериментальное определение числовых характеристик случайных величин 35

1.4 Экспериментальное определение числовых характеристик случайных величин 35

При проведении эксперимента получают не полный набор всех значений случайной величины, которой в статистике называют гене­ральной совокупностью, а лишь некоторое число этих значений, кото­рое называется выборкой. 35

Определенные по этим данным характеристики закона распределе­ния являются приближенными, их называют оценками. Особенность экс­периментальных значений случайной величины состоит в том, что они являются естественно квантованными (округленными). 35

Эмпирическое значение вероятности попадания значений случай­ной величины в i-тый интервал группирования определяется, как ука­зывалось ранее, через частоту (или частность) P^*(х). 35

(4.20) 35

где n_i - количество х_i, попавших в i-тый интервал; 35

n - полное число наблюдений; 35

d - длина интервала. 35

Оценка математического ожидания случайной величины есть сред­нее арифметическое всех полученных результатов наблюдений, т.е. 36

(4.21) 36

Несмотря на конечный объем выборки, эта оценка не имеет системати­ческой составляющей погрешности, т.е. является несмещенной оцен­кой. 36

Оценка дисперсии D^* производится по формуле 36

(4.22) 36

Она оказывается смещенной, т.е. кроме разброса имеет система­тическую отрицательную погрешность, возрастающую по мере уменьше­ния n, как показано на рис. 4.5. 36

Для исключения этой погрешности найденное значение D^* умножа­ют на поправочный множитель Бесселя. 36

36

Таким образом 36

(4.23) 36

Соответственно среднеквадратическое отклонение 36

(4.24) 36

Оценка четвертого центрального момента (без поправки на смещение) 36

(4.25) 36

1.5 Максимальная или предельная оценка случайной погрешности 36

1.5 Максимальная или предельная оценка случайной погрешности 36

Для оценки максимальной или предельной погрешности обычно бе­рут наибольшее по модулю значение погрешности, встретившееся в данном произвольно ограниченном ряде наблюдений. Основное преиму­щество этой оценки состоит в простоте ее определения - из всех за­регистрированных отклонений выбирается наибольшее ( без учета зна­ка) и принимается в качестве "предельного" значения. Однако такая "предельная" оценка имеет существенные недостатки. 36

Во-первых, она случайна. Если в данной серии наблюдений ока­залась максимальной погрешность, например, 5%, то это не гаранти­рует того, что в следующей серии она не окажется раной 6 или 4%. 36

Во-вторых, такая оценка существенно зависит от объема выбор­ки, т.е. серии наблюдений, поскольку при продолжении наблюдений всегда могут встретиться еще большие погрешности. 36

Например, при нормальном законе распределения погрешности ∆_m= δ встречаются в среднем один раз на каждые 3 наблюдения, ∆_m = 2δ -один раз на 22 наблюдения, ∆_m = 3δ - в среднем один раз на 370 наблюдений и ∆_m = 4δ - один раз на 15000 наблюдений. Это создает неодинаковые условия аттестации простых и сложных измерительных устройств, которые проверяются при различном числе наблюдений (например, десятки и сотни). 36

И, наконец, при оценке результирующей погрешности средств из­мерений, состоящих из нескольких отдельных устройств, совершенно бессмысленно суммировать "предельные" значения статистически неза­висимых составляющих погрешности. 36

Покажем это на примере. Пусть средство измерений имеет три составляющие погрешности, каждая из которых может принимать 11 различных значений: -5, -4, ..., +4, +5. Тогда общее число возмож­ных комбинаций 11³ = 1331. Суммирование предельных значений соот­ветствует только двум случаям, когда все три погрешности равны +5 или -5. 37

Если принять, что все комбинации равновероятны (на самом деле большие погрешности встречаются реже), то вероятность этих двух случаев равна 2/1331 = 1/165. 37

Если же суммируются не три, а десять таких же погрешностей, то вероятность результирующей погрешности, равной сумме их пре­дельных значений, составит 10^-10, т.е. подобная ситуация практи­чески никогда не встретится. 37

Такая "перестраховочная" оценка для наилучшего стечения обс­тоятельств относится к несуществующей ситуации. Поэтому результи­рующую погрешность никогда не определяют путем суммирования "пре­дельных" погрешностей, а находят экспериментально, либо расчетным путем, но используют при этом другие характеристики (см. дальше). 37

1.6 Доверительная погрешность и доверительная вероятность 37

1.6 Доверительная погрешность и доверительная вероятность 37

Как было показано ранее, площадь под кривой плотности распре­деления (рис 4.6) равна единице, т.к. отражает вероятность всех возможных погрешностей. Эту площадь можно разделить на некоторые части вертикальными линиями. Абсциссы таких линий называются кван­тилями. Квантиль β%- это такая абсцисса, площадь слева от которой составляет β% общей площади под кривой P(x). Медиана - это 50%-ная квантиль, которая делит площадь на две равные части. Между 5%-ной и 95%-ной квантилями заключено 90% всех погрешностей. 37

Разность двух квантилей называется интерквантильным промежут­ком, а половину интерквантильного промежутка обычно принимают за доверительное значение погрешности 37

37

Т.к. доверительный интервал выбирается произвольно, то при указа­нии доверительного значения погрешности необходимо указывать од­новременно и значение так называемой доверительной вероятности Р_д, т.е. вероятности того, что модуль погрешности будет не больше зна­чения ∆_д. Так, для нормального закона распределений при Р_д = 0.9545 доверительная погрешность соответствует ∆_д = 2δ, а при Р_д = 0.997. ∆_{д =} 3δ. 37

Достоинство доверительной погрешности состоит в том, что ее значение может быть довольно просто определено по эксперименталь­ным данным. Однако, чем с большей вероятностью Р_д мы хотим опреде­лить ∆_д, тем больше экспирементов нам следует провести (табл 4.3). 37

Таблица 4.3 37

P_д 37

0.8 37

0.9 37

0.95 37

0.99 37

0.995 37

0.997 37

n 37

10 37

20 37

40 37

200 37

400 37

667 37

Из таблицы видно, что практически можно определить значения ∆_д лишь с доверительной вероятностью Р_д ≤ 0.95. Иначе говоря, если не известен закон распределения погрешностей, то при малом числе испытаний (20-30) какие - либо сведения о ходе кривой в районе с Р_д > 0.95 отсутствуют. Тем не менее иногда допускают такую ошибку. На основании 20-30 наблюдений вычисляют среднеквадратическое отк­лонение δ , делают предположение о нормальности закона распредле­ния и указывают на предельную погрешность ∆_д = ∆_m = 3δ с доверительной вероятностью Р_д = 0.997. Как будет показано далее, реаль­ные законы распределения погрешностей очень часто далеки от нор­мального. 37

Основным недостатком доверительной погрешности ∆_д , как и "максимальной" ∆_m , является невозможность их суммирования. 37

1.7 Образование композиций законов распределения 37

1.7 Образование композиций законов распределения 37

Результирующие погрешности средств измерений складываются из ряда составляющих, а при сложении погрешностей законы их распреде­ления существенно деформируются. Закон распределения Р(х) = Р(Х₁ + Х₂) суммы двух независимых случайных величин, имеющих распределе­ния Р₁(х) и Р₂(х), называется композицией законов распределения. 37

Покажем это на примерах. При суммировании двух равномерно распределенных случайных величин X₁ и X₂ (рис 4.7) образование композиций можно представить как размыв резко ограниченных концов широкого распределения (шириной а ) на величину протяженности в менее широкого распределения. Полученный закон распределения имеет форму трапеции. Аналогично получается композиция равномерного и нормального распределений (рис 4.8 ). 37

Композиция двух одинаковых равномерных распределений (рис 4.9) является треугольной (распределение Симпсона), т.к. в этом случае верхнее основание трапеции обращается в нуль, а нижнее - в 2а. 38

Композиция двух треугольных распределений (рис 4.10) описыва­ется участками парабол и имеет также удвоенную ширину основания. Приведенные рисунки построены без соблюдения относительного масш­таба кривых по вертикали. Этот масштаб должен быть таким, чтобы в каждом случае площадь под кривой закона распределения была равна единице. 38

1.8 Значение среднеквадратической погрешности для оценки суммарной погрешности 38

1.8 Значение среднеквадратической погрешности для оценки суммарной погрешности 38

Как будет показано далее, реальные законы распределения пог­решности приборов весьма разнообразны и часто далеки от нормального. Для оценки суммарной погрешности прибора не могут быть исполь­зованы ни предельная ∆_m , ни доверительная погрешность ∆_д. Для этого используют среднеквадратическую погрешность. 38

Среднеквадратическое значение δ случайной величины - это ее действующее, эффективное значение, подобное эффективному (в энер­гетическом смысле) значению тока i(t) со сложной формой кривой 38

(4.26) 38

Аналогично этому 38

, (4.27) 38

где D - дисперсия; 38

P(X) - плотность распределения. 38

Достоинством такой энергетической оценки случайной величины с произвольным за­коном распределения является возможность оценки суммарного дейс­твия нескольких таких независимых случайных величин благодаря свойству скалярного суммирования мощностей. Так, если по участку цепи протекает несколько статистически независимых токов с любой формой кривых, то суммарная их мощность просто равна сумме токов мощностей P_E = P₁ + P₂ + ... + P_n , а действующее значение суммы токов определяется из соотношения I²_E = I²₁ + I²₂ +...+ I²_n . При этом токи I_i должны быть представлены их действующими (а не максималь­ными) значениями. Подобно этому действию значение суммы статисти­чески независимых величин равно 38

38

Действительно, если ₃₈

Правда, при этом нужно учитывать корреляционные взаимосвязи сумми­руемых погрешностей. 38

Полученные здесь выражения для среднеквадратической погреш­ности ряда (т.е. серии) случайных величин и погрешность математи­ческого ожидания (т.е. среднего значения) этого ряда случайных ве­личин связаны между собой отношением 38

(4.28) 38

Соответственно средняя (вероятная) погрешность математическо­го ожидания равна 39

(4.29) 39

и средняя по модулю арифметическая погрешность математического ожидания составит величину 39

(4.30) 39

5 КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 40

Современные средства измерений делят на меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные устройства и измерительные системы. 40

Мера - средство измерений, воспроизводящее физическую величи­ну известного размера. Например, гири, измерительные резисторы, измерительные конденсаторы. Различают однозначные меры, многознач­ные меры и наборы мер. Примеры многозначных мер: линейка с делени­ями, магазин резисторов и т.д. Измерения с помощью мер производят путем сравнения. 40

Измерительный преобразователь - средство измерений, предназ­наченное для преобразования сигналов измерительной информации в форму, целесообразную для передачи, обработки или хранения. Эта информация, как правило, недоступна для непосредственного восприя­тия наблюдателем. По функциональному назначению преобразователи можно разделить на первичные, промежуточные, передающие, масштаб­ные и др. 40

Измерительный прибор - средство измерений, предназначенное, для преобразования сигналов измерительной информации в форму, дос­тупную для непосредственного восприятия наблюдателем. 40

У всех измерительных приборов имеется отсчетное устройство. Оно может быть выполнено в виде шкалы и указателя - стрелки. В этом случае показания прибора являются непрерывной функцией измеряемой величины. Такой прибор называют аналоговым. Если показания прибора имеют цифровую форму, прибор называют цифровым. 40

Если в приборе осуществляется регистрация показаний, то при­бор называют регистрирующим. Если прибор имеет контактные устройс­тва для целей управления, то прибор называют регулирующим. 40

Измерительными устройствами называют средства измерений, сос­тоящие из измерительных приборов и измерительных преобразователей. Измерительные устройства в зависимости от их назначения и функции разделяют на первичные, промежуточные и вторичные измерительные устройства (приборы). Первичный прибор - средство измерений, к ко­торому подведена измеряемая величина. Промежуточное измерительное устройство снабжается передающим преобразователем. Вторичным при­бором называют устройство измерений, предназначенное для работы в комплекте с первичным или промежуточным прибором. 40

Измерительная система - совокупность функционально объединен­ных средств измерений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для преобразования сигналов измерительной информации в форму, удобную для автомати­ческой обработки, передачи, использования в автоматических систе­мах управления, и доступную для непосредственного восприятия наблю­дателем. Примером измерительных систем являются телеизмерительные системы с использованием проводной и радиосвязи. 40

В зависимости от назначения средства измерений делятся на ра­бочие, образцовые и эталонные. 40

Эталон - средство измерений, обеспечивающее воспроизведение и хранение единицы измерения с целью передачи его размера нижестоя­щим по поверочной схеме средствам измерений. Образцовые средства измерений служат для поверки рабочих средств. В зависимости от точности изготовления образцовые средства измерений делятся на разряды. 40

Рабочие средства измерений применяют для практических повсед­невных измерений во всех отраслях хозяйства. Сущность такого деле­ния состоит не в конструкции. Одна и та же мера или прибор, кроме средств низшей точности, могут быть предназначены и для техничес­ких измерений, и для передачи единиц. Но если средство измерений утверждено как образцовое, то оно не должно применяться как рабо­чее. Такое особенное положение образцовых средств обеспечивает их меньший износ и лучшую сохранность. Для обеспечения правильной пе­редачи размера единиц необходимо придерживаться определенного по­рядка. Поэтому и составляют поверочные схемы, которые устанавлива­ют соподчинение эталонов и разрядных средств измерений, а также порядок и точность передачи единиц измерений от эталонов образцо­вым средствам измерений и далее рабочим с указанием методов повер­ки. 40

6 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 41

Считывание значений измеряемой величины производится на так называемом отсчетном устройстве. Для показывающих приборов это шкала и стрелка. Шкала - совокупность отметок и проставленных у некоторых из них чисел отсчета или других символов, соответствую­щих ряду последовательных значений величины. Ценой деления шкалы называют разность значений измеряемой величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы. 41

Область значений шкалы, ограниченная конечным и начальным значениями шкалы, определяет диапазон показаний, а та часть диапа­зона показаний, для которой нормированы погрешности измерений, на­зывается диапазоном измерений. 41

Наибольшее и наименьшее значения диапазона измерения называют­ся пределами измерения. 41

Влияющей физической величиной называют физическую величину, которая оказывает влияние на выходной сигнал средства измерения. Основными влияющими величинами являются время, температура, напря­жение питания и др. 41

Характеристикой преобразования средства измерений называют зависимость выходного сигнала от входного, т.е. у=f(х). Обратную зависимость называют градуировочной характеристикой. 41

Наличие погрешностей у средства измерений приводит к тому, что их характеристики в некоторых пределах неоднозначны. Так, при экспериментальном определении характеристики средства измерений (преобразователя), т.е. при его градуировке, получается ряд точек более или менее близких к предполагаемой характеристике. Однако при повторной градуировке получается ряд точек, несовпадающих с первоначальными. Такая же картина будет наблюдаться для серии одно­типных средств измерений. Таким образом, характеристики реальных средств измерений оказываются неоднозначными и на графике вместо одной линии образуют некоторую полосу. 41

Поэтому в теории измерительной техники вводится понятие поло­сы неопределенности или полосы погрешностей, а также понятие нор­мальной характеристики как некоторой детерминированной средней ли­нии этой полосы, которая приписывается средствам измерений данного типа и указывается в паспорте (рис 6.1). 41

Приписывание средству измерений номинальной градуировочной характеристики или номинальной характеристики преобразования назы­вают градуировкой. 41

На рис 6.2 показана полоса погрешностей при наличии аддитив­ной систематической погрешности, на рис 6.3 - при наличии случай­ной погрешности. На рис 6.4 и 6.5 показаны полосы погрешностей для средств измерений, имеющих мультипликативные погрешности. 41

Под вариацией понимают разность показаний прибора, полученную при поверке, при прямом и обратном ходе, при одном и том же значе­нии измеряемой величины. Таким образом, вариация характеризует за­висимость характеристики прибора от направления изменения измеряе­мой величины. Вариация вызывается трением в механизме прибора, гистерезисом, зазорами в сочленениях и т.д. 41

Под поправкой понимают значение величины, одноименной с изме­ряемой, прибавляемое к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности. 41

7 ОПИСАНИЕ ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 42

1.9 Изменение абсолютной и относительной погрешности средств измерений по диапазону измеряемой величины 42

1.9 Изменение абсолютной и относительной погрешности средств измерений по диапазону измеряемой величины 42

Наличие аддитивной или мультипликативной погрешности средств измерений существенно влияет на изменение абсолютной и относитель­ной погрешности по диапазону измеряемой величины. Будем считать, что измеряемая входная величина X преобразуется в выходную величи­ну Y в соответствии с функцией преобразования 42

При наличии аддитивной погрешности + ∆₀ уравнение преобразо­вания с учетом погрешности запишется как Y = S(x + ∆₀) и будет представлено полосой неопределенности (рис 7.1а). В этом случае абсолютная погрешность, а следовательно, и интервал неопределен­ности d = 2∆₀ не зависит от X, оставаясь постоянным для любых его значений (рис 7.1б). 42

Однако текущие значения относительной погрешности оказываются обратно пропорциональными X и изменяются по гиперболе (рис 7.1в), будучи достаточно малыми при больших Х и возрастая до бесконечнос­ти при приближении Х к нулю. 42

Отсюда вытекает, что один и тот же преобразователь с аддитив­ной погрешностью нельзя использовать для измерения одновременно больших и малых величин. 42

Если бы абсолютная погрешность преобразователя была чисто мультипликативной, то полоса неопределенности имела бы вид рис. 7.2а. Характеристика преобразователя имела бы вид Y = S(1 ± γ_s)х, где γ_s - относительная погрешность изменения чувствительности. 42

В этом случае интервал неопределенности будет пропорционален Х, т.е. d = 2γ_sX (рис 7.2б), а относительная погрешность γ_s будет постоянна для любых значений Х, т.к. при Х=0 будет равна нулю аб­солютная погрешность (рис 7.2в). 42

Однако приведенный идеальный случай не осуществим, так как ре­альные преобразователи всегда имеют аддитивные погрешности, причиной которых являются трения, наводки, дрейф и др. Поэтому у реаль­ных преобразователей полоса неопределенности выглядит так, как изображено на рис 7.3а. 42

Функция преобразования с учетом аддитивной ± ∆₀ и мультипликатив­ной ± γ_s погрешности выражается в этом случае как Y = S(1 ± γ_s)(x ± ∆₀). Полоса неопределенности имеет вид d = 2∆₀ + 2γ_sX (рис 7.3б), а характер изменения относительной погрешности показан на рис 7.3в. 42

Рассмотренные соотношения характерны для относительно узко диапазонных приборов или преобразователей. У широкодиапазонных при­боров относительная погрешность резко возрастает как в области ма­лых, так и в области больших измеряемых величин. 42

Так, для простейшего реохордного моста (рис 7.4) выражение для относительной погрешности γ_Rx измерения сопротивления R_x имеет вид 42

42

где: относительная погрешность отсчета по шкале реохорда; 42

относительная погрешность измерения сопротивления; 42

R_{n -} сопротивление образцового резистора. 42

Погрешностью образцового резистора пренебрегаем. Отсюда видно что при постоянной погрешности отсчета по шкале реохорда относительная погрешность γ_Rx возрастает до бесконечности симметрично как при малых так и при больших 43

Изменение абсолютной погрешности ∆X = γ_{Rx *} R_x происходит по зако­ну 43

43

и полоса неопределенности имеет вид, показанный на рис 7.5a. Отно­сительная погрешность изменяется при этом по кривой рис 7.5б, ко­торую можно представить аналитически в общем виде как _, 43

где ∆_о = γ_lR_N; 43

γ_s = 2γ_l; 43

43

или в общем виде 43

1.10 Порог чувствительности средств измерений 43

1.10 Порог чувствительности средств измерений 43

Встречающаяся в литературе формулировка этого понятия в виде "Под порогом чувствительности измерительного прибора понимается наименьшее изменение значения измеряемой величины, способное выз­вать малейшее изменение показаний прибора" лишена какой - либо ко­личественной определенности. 43

Дело в том, что обнаруживать малые значения измеряемой вели­чины Х мешает погрешность нуля прибора ∆_о. Эта погрешность чаще всего является случайной и проявляется в виде помех и шумов, вызы­вающих малые беспорядочные блуждания указателя прибора. В этих ус­ловиях малейшие изменения показаний прибора, вызванные наименьшим изменением измеряемой величины, невозможно отличить от помех до тех пор, пока они не станут больше этих помех. Таким образом, по­рогом, до которого обнаружение измеряемой величины невозможно и после которого оно принципиально уже возможно, является равенство измеряемой величины Х погрешности нуля прибора ∆_о. 43

Таким образом, под порогом чувствительности понимается такое значение измеряемой величины, когда Х = ∆_о, а относительная погрешность измерения (см рис 7.1в) 43

1.11 Полный и рабочий диапазон преобразования измеряемой величины 43

1.11 Полный и рабочий диапазон преобразования измеряемой величины 43

Если значение измеряемой величины Х меньше порога чувстви­тельности, то относительная погрешность измерения γ > 100%. Если измеряемая величина Х больше предела измерений прибора, то погреш­ность может быть сколь угодно велика. 43

Таким образом, интервал от ∆_о до Х_к, где погрешность γ не превосходит 100%, называется полным диапазоном Dп преобразования данного средства измерений, он указывается в виде кратности отношения Х_к к ∆_о т.е. D_n = X_к /∆_о 43

Рабочий диапазон D преобразования средств измерений представ­ляет собой часть полного диапазона, где относительная погрешность не превышает некоторой заданной величины γ_з (см рис 7.1в и 7.5б). 44

8 НОРМИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 44

Суммарные погрешности средств измерений и их отдельные сос­тавляющие (вариация и др.) нормируются государственными стандарта­ми. Причем погрешности нормируются отдельно для нормальных условий применения средств измерений и при отклонении этих условий. Под нормальными понимаются следующие условия: 44

температура окружающей среды 20 ± 5⁰ С; 44

атмосферное давле­ние 101325 ± 3999,66 Па; 44

относительная влажность 30 - 80%; 44

отклонение напряжения питания от нормального на ± 2%; 44

вибрация в пределах норм, установленных в технических условиях испытания; 44

частота питания переменного тока 50 ± 0,5; 400 ± 12 Гц; 44

Кроме того, на работу прибора не должны влиять внешние элект­рические и магнитные поля, рабочее положение прибора в пространс­тве должно быть в соответствии с требованиями стандартов и техни­ческих условий. 44

Погрешность средства измерения, свойственная ему в нормальных условиях применения, называется основной погрешностью. 44

Основная погрешность согласно ГОСТ 13600-68 нормируется путем задания пределов допускаемой основной погрешности. 44

При отклонении влияющих величин от нормальных значений воз­никают дополнительные погрешности, которые нормируются указанием коэффициентов влияния изменения отдельных влияющих величин на из­менение показаний в виде: проц /10⁰ С, проц/10% U_пит, d, и т.д. 44

Так как полосы погрешностей имеют принципиально различные формы (рис 7.1, 7.3, 7.5), то нормирование производится тремя раз­личными способами. 44

Для описания полосы погрешностей вида рис 7.5а, характеризую­щейся уравнением относительной погрешности 44

^, (8.1) 44

необходимо указывать все три постоянные коэффициенты этого уравне­ния: нижнего порога чувствительности γ_s, погрешности чувствитель­ности ∆_о и верхнего порога чувствительности Х_m. Это нормирование трехчленной формулой. 44

Для описания полосы погрешностей вида рис 7.3а, характеризую­щейся следующими уравнениями 44

∆(Х) = ∆_о + γ_sХ или ₄₄

достаточно указать два постоянных коэффициента: порог чувствитель­ности ∆_о и погрешность чувствительности γ_s. Так как обычно однов­ременно указывается и номинальное значение предела измерений Х_к, то чаще всего вместо абсолютного значения порога чувствительности ∆_о приводится значение приведенной погрешности нуля . Тогда формула погрешности записывается в виде 44

∆(Х) = γ_оХ_к + γ_sХ или ₄₄

Такое нормирование называется нормированием погрешности двуч­ленной формулой. Если при полосе погрешностей вида рис 7.3а абсолютные погрешности в начале и в конце шкалы, т.е. при х=0 и х=Х_к, выразить их приведенными значеньями, то погрешность при х=0 44

будет равна , а при х=Х_к будет равна 45

При расчете или экспериментальном определении погрешностей легче всего получить именно эти значения погрешностей. Поэтому ГОСТ 13600-63 предусматривает введение в двучленную формулу именно этих значений погрешностей (γ_о и γ_к) без разделения на аддитивную и мультипликативную составляющие. Тогда формула нормирования выра­жается так 45

, (8.2) 45

а обозначение класса точности дается в виде дроби _И, наконец, если различие между γ_о и γ_к оказывается незначитель­ным, то считается, что такое средство измерений характеризуется полосой погрешности вида рис 7.1а с постоянным интервалом неопре­деленности и его погрешность нормируется указанием лишь одного числа относительной приведенной погрешности γ_о, т.е. одночленной формулой вида , а в качестве класса точности указывается только значение γ_о. 45

9 КЛАССЫ ТОЧНОСТИ 45

Классом точности называется обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополни­тельных погрешностей, а также другими свойствами средств измере­ний, влияющими на их точность, значения которых устанавливаются на отдельные виды средств измерений. 45

Основой для присвоения средствам измерений класса точности является их основная погрешность и способ ее выражения. 45

Рассмотрим четыре способа. 45

1. Если основная погрешность выражается в единицах измеряемой величины или в делениях шкалы, то классы точности обозначаются по­рядковыми номерами, причем, средствам измерений с большим пределом основной допустимой погрешности присваиваются классы точности с большим порядковым номером (концевые меры длины, гири). 45

Образцовые средства измерений классифицируют по разрядам. К 1-му разряду относят точные образцовые средства. Иначе присваивают классы точности, если пределы основной погрешности задаются в виде относительных или приведенных погрешностей. 45

2. Если погрешность средств измерений нормируется одночленной формулой и предел допустимой основной погрешности выражается в ви­де приведенной погрешности 45

45

где Х_н - нормирующее значение; ∆_о - основная допустимая погрешность, то класс точности обозначается одним числом γ_о и выбирается из ряда γ = (1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6;) _* 10ⁿ, где n = 1; 0; ‑1; -2;.... 45

Нормирующее значение Х_н принимается равным: - конечному зна­чению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы; - сумме конечных значений шкалы прибора (без учета зна­ков), если нулевая отметка находится внутри шкалы; - номинальному значению измеряемой величины, если таковая установлена; - длине шкалы, если шкала имеет резко сужающиеся деления. В этом случае погрешность и длину шкалы выражают в одних единицах. Для приборов с без нулевой шкалой - разности конечного и начального значений шкалы (диапазону измерений). 45

С использованием чисел указанного ряда разработаны условные обозначения классов точности, применяемые в документации на средс­тва измерений и наносимые на них. 46

Если в качестве нормирующего значения Х_н принята длина шкалы, то класс точности обозначается одним числом в процентах, помещен­ным между двумя линиями, расположенными под углом, например 0,5. Сюда относятся приборы с резко неравномерной шкалой, например, ло­гарифмической или гиперболической. В остальных случаях наносится только численное значение класса точности. 46

К средствам измерений рассмотренной группы относятся показы­вающие и самопишущие приборы, у которых преобладают аддитивные погрешности от трения, от изменения положения в пространстве, пог­решности отсчета и др. 46

3. Для средств измерений, у которых преобладает мультиплика­тивная составляющая погрешности, предел основной погрешности выра­жают в виде относительной погрешности по формуле 46

46

Класс точности в этом случае обозначается одним числом и по­мещается в кружок, например В таких приборах относительная погрешность остается постоянной во всем диапазоне измерения (нап­ример, интегрирующие приборы). 46

4. Если погрешность средств измерений нормируется двучленной формулой, в которых аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности соизмеримы, то класс точности проставляется в виде ко­сой дроби γ_s/γ_о, например 0,02/0,01. При этом числитель равен отно­сительной погрешности средства измерений в наиболее благоприятных условиях, когда Х = Х_к. Знаменатель характеризует увеличение относительной погрешности при уменьшении Х, т.е. влияние аддитивной составляющей погрешности. К этой группе средств измерения относят­ся цифровые приборы уравновешивания - мосты, компенсаторы - как с ручным, так и с автоматическим уравновешиванием. 46

Конкретные ряды классов точности устанавливаются на отдельные виды средств измерений, причем, для одного и того же значения n разрешается принимать не более пяти классов точности с тем, чтобы перепад точностей между отдельными средствами измерений был не очень мал. 46

Пределы дополнительных погрешностей также связаны с их клас­сом точности. Эта связь раскрывается в частных стандартах вследс­твие разнообразия средств измерений и условий их применения. Пре­делы дополнительных погрешностей выражаются в той же форме, что и основная погрешность. 46

Например, дополнительная погрешность средств измерений, выз­ванная изменением i - той влияющей величины на нормированное отк­лонение, выражается в виде приведенной погрешности в процентах нормирующего значения X_н и определяется по формуле 46

, 46

где Х_н, Х_д - показания средства измерения при нормальном значении влияющей величины и при ее отклонении соответственно. 46

При этом в большинстве стандартов пределы дополнительных пог­решностей устанавливают как положительными, так и отрицательными с равными числовыми значениями. 46

Иногда для приборов, предназначенных для работы в расширенной области изменений влияющей величины, например, температуры, норми­руется значение дополнительной погрешности на каждые десять граду­сов изменения температуры. 46

Например, нормированный предел дополнительной погрешности для измерительного прибора класса точности 0,5 составляет γ_д ± 0,2% при нормированном отклонении температуры от нормальной области значений (20 ± 5⁰ С) ∆θ = 10⁰ С. При температуре окружающего воз­духа θ = 40⁰ С дополнительная погрешность прибора составит 46

47

Таким образом, суммарная погрешность показаний прибора соста­вит 0,8% диапазона показаний. 47

10 СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ИХ ОБНАРУЖЕНИЕ И УСТРАНЕНИЕ 47

1.12 Классификация систематических погрешностей 47

1.12 Классификация систематических погрешностей 47

Учет и устранение систематических погрешностей - важнейшая задача каждого точного измерения. Если случайные погрешности можно уменьшить путем многократных измерений, то для систематических погрешностей этот метод не пригоден. Систематические погрешности следует изучать индивидуально. С другой стороны, поскольку систе­матические погрешности - погрешности постоянные или изменяющиеся по определенному закону, то их можно определить с помощью специ­ально поставленных экспериментов и затем учесть в виде поправки или устранить одним из методов автоматической коррекции. Однако полностью исключить систематические погрешности не удается. Остав­шиеся составляющие называют не исключенными систематическими пог­решностями. 47

Для изучения систематических погрешностей очень важно знать причины их возникновения и закономерности проявления. 47

В зависимости от причин возникновения систематические погреш­ности делятся на несколько групп. 47

1. Инструментальные погрешности, зависящие от самих измери­тельных средств. Они вызваны несовершенством средств измерений. Классические примеры: неточная градуировка шкалы, неравенство плеч в равноплечих рычагах. 47

2. Погрешности, возникающие в результате неправильной уста­новки прибора, например, установка не по уровню грузопоршневых ма­нометров, рычажных весов, жидкостных микроманометров, установка термобаллона конденсационного термометра выше или ниже вторичного прибора (манометрические пружины). 47

3. Погрешности, вызываемые условиями эксплуатации: отклонени­ем температуры от нормальной, влиянием магнитных и электрических полей, повышенным или пониженным атмосферным давлением и др. 47

4. Методические погрешности, возникающие из-за несовершенства метода измерения, применение неточных эмпирических формул и зави­симостей, неправильного приема использования средств измерения. Например, вольтметр магнитоэлектрической системы по принципу дейс­твия потребляет ток из цепи измерения. Вследствие падения напряже­ния на внутреннем сопротивлении источника измеряемого напряжения на зажимах вольтметра напряжение будет меньше измеряемого. 47

5. Субъективные (личные) погрешности, зависящие от индивиду­альных свойств наблюдателя. Так, время между появлением сигнала (светового или звукового) и соответствующими действиями наблюдате­ля у разных людей разное. Сюда относятся и погрешности от укоре­нившихся неправильных навыков (разные наблюдатели могут по разному отсчитывать показания стрелочных приборов). 47

По видам проявления систематические погрешности делятся на постоянные и переменные. Последние в свою очередь подразделяются на прогрессирующие, периодические и изменяющиеся по сложному зако­ну. Постоянные систематические погрешности сохраняют неизменным свой знак и значение в течении всего процесса измерения. Такие погрешности возникают, например, при неправильной установке на нуль, неправильной градуировке средств измерений. К постоянным погрешностям относятся погрешности мер, например, гирь, катушек и магазинов сопротивления. К постоянным можно отнести и личные пог­решности опытных экспериментаторов (у неопытных они обычно носят характер случайных). 47

Прогрессивные погрешности постоянно увеличиваются или убывают в процессе всего измерения. Например, погрешность вследствие пос­тепенного падения напряжения аккумулятора, питающего потенциометр. 48

Периодические погрешности - погрешности, изменяющиеся с опре­деленным периодом. Они обычно имеют место в приборах с круговой шкалой, например, в секундомере, если ось вращения стрелки не сов­падает с центром шкалы. 48

Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, могут быть вы­ражены формулой или эмпирической кривой. 48

1.13 Исключение систематических погрешностей 48

1.13 Исключение систематических погрешностей 48

1.13.1 Устранение источников погрешностей до начала экспери­мента 48

1.13.1 Устранение источников погрешностей до начала экспери­мента 48

Этот способ самый рациональный, поскольку существенно упроща­ет дальнейший процесс измерения. До начала измерений можно частич­но устранить инструментальные погрешности путем поверки и регули­ровки, а также источники погрешностей, возникающие в результате неправильной установки средств измерений. 48

До начала измерений можно исключить влияние внешних неблагоп­риятных факторов либо путем удаления их источника (например, ис­точника тепла), либо защитой от них измерительной аппаратуры (термостатирование отдельных узлов средств измерений, кондиционирова­ние воздуха в помещении). Если внутри средства имеется источник тепла, то такие средства измерений перед началом измерений прогре­вают. 48

1.13.2 Исключение систематических погрешностей в процессе измерения 48

1.13.2 Исключение систематических погрешностей в процессе измерения 48

Этот способ требует проведения повторных измерений и применим только при измерении стабильных физических величин. Такие измере­ния дают возможность не только исключить систематическую погреш­ность, но и определить ее источник. 48

Существуют следующие методы: метод замещения, противопостав­ления, симметричных наблюдений, компенсации погрешности по знаку и др. Они рассмотрены в специальной литературе (1,2). 48

Выявленную систематическую погрешность ∆_c учитывают в оценке результата измерения путем вычитания, т.е. 48

Х_сп = Х_Е - ∆_c или Х_сл = ∑_Е + С 48

где Х_Е - результат измерения, содержащий сумму случайной и система­тической погрешности; 48

∆_c - систематическая погрешность; 48

Х_сл - ре­зультат измерения, содержащий только случайную погрешность; 48

С - поправка (С = - ∆_c)_. 48

При поверке средств измерений оценку систематической состав­ляющей погрешности в поверяемой точке диапазона измерений можно определить по формуле_. 48

48

где - среднее значение погрешности при медленном, многократном изменении входного сигнала со стороны меньших значений до данного зна­чения X; 48

- то же, но при изменении входного сигнала со стороны больших значений до значения Х; 49

n - число опытов при определении ∆_δ и ∆_м . 49

11 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 49

1.14 Среднее арифметическое значение 49

1.14 Среднее арифметическое значение 49

Многократные (статистические) измерения проводятся с целью уменьшения влияния случайных погрешностей и повышения точности путем обработки результатов группы наблюдений. При повторении изме­рений мы получаем информацию только о случайной погрешности. О систематической погрешности из самих наблюдений извлечь информацию нельзя. Чтобы оценить эту погрешность, надо знать свойства исполь­зуемых средств измерений, метод измерения и условия измерения. В дальнейшем будем предполагать, что результаты измерений свободны от систематических и грубых погрешностей. Кроме того, будем счи­тать, что погрешности распределены по нормальному закону. 49

Измерения одной и той же величины, проводимые в одних и тех же условиях, одними и теми же людьми называются прямыми равноточ­ными измерениями. 49

В математической статистике доказано, что оценкой истинного математического ожидания измеряемой величины является среднее арифметическое результатов измерений. 49

49

где Х_i - результат i- того измерения; 49

n - число измерений 49

Разность между результатом измерения и средним значением на­зывается случайным отклонением. Последнее имеет два важных свойс­тва. 49

1. Алгебраическая сумма случайных отклонений равна нулю, т.е. 49

49

Этим свойством можно воспользоваться для контроля правильнос­ти вычислений. Если при вычислении пользовались правилом округле­ний, то отклонение от нуля позволит оценить правильность округле­ний. 49

2. Сумма квадратов случайных отклонений имеет минимальное значение 49

49

Это следует понимать так. Если найти отклонение от любого другого числа, то сумма квадратов таких_{_} отклонений окажется боль­ше, чем сумма квадратов отклонений от . 49

1.15 Средняя квадратическая погрешность результата и сред­него арифметического 49

1.15 Средняя квадратическая погрешность результата и сред­него арифметического 49

Несмещенная оценка среднего квадратического отклонение ре­зультата наблюдений определяется по формуле 49

50

Среднее значение вычисляют на основании конечного числа опытов n, следовательно, оно отличается от истинного на некоторую величину, другими словами, имеет погрешность. Если случайные пог­решности отдельных измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и погрешность средних значений _i повторных рядов подчиняется этому же закону, но с другим меньшим рассеиванием. 50

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического , полученного из n измерений, определяется по формуле 50

50

1.16 Вычисление среднего значения и средней квадратической погрешности с помощью произвольного числа 50

1.16 Вычисление среднего значения и средней квадратической погрешности с помощью произвольного числа 50

Когда числа многозначные и их много, пользоваться приведенны­ми выше формулами неудобно. Для облегчения расчетов выбирают про­извольно некоторое круглое или близкое к ожидаемому среднему число Х₀ . Тогда среднее значение и среднюю квадратическую погрешность можно определить по формуле 50

₅₀

При расчете и δ обычно используют на одну значащую цифру больше, чем у исходных данных, а в окончательных результатах эту цифру отбрасывают, округляя число. Значение δ вычисляют с одной или двумя значащими цифрами. При этом следует помнить, что послед­ние цифры среднего значения и средней квадратической погрешности должны быть одного разряда. 50

1.17 Неравноточные измерения 50

1.17 Неравноточные измерения 50

До сих пор рассматривались измерения, заслуживающие одинако­вого доверия. Однако на практике приходится иметь дело с измерени­ями, выполненными с различной степенью точности или с различным числом измерений в каждой серии. В этом случае средние арифмети­ческие значения отдельных серий измерений одной и той же величины и средняя квадратическая погрешность этих серий могут отличаться друг от друга. Однако отбрасывать менее точные серии измерений не следует, так как увеличение числа измерений позволяет уменьшить случайную погрешность. Различная точность отдельных результатов оценивается так называемым "весом" - чем точнее результат серии, тем больший вес ему приписывается. Полученное таким путем среднее значение результата измерения называется средневзвешенным Х_с. 50

50

где - средние значения отдельных серий измерений; 50

- их вес. 50

1. Имеются средние значения, полученные на приборах разной точности. Вес измерений устанавливают обратно пропорциональным квадрату средней квадратической погрешности (дисперсии) Тогда 51

51

2. Имеются две серии с разным числом измерений, но с одинако­вой средней квадратической погрешностью δ. 51

51

Здесь вес измерений прямо пропорционален числу измерений в серии. Средняя квадратическая погрешность среднего взвешенного определя­ется по формуле 51

51

где m - общее число результатов измерений 51

1.18 Критерии грубых погрешностей 51

1.18 Критерии грубых погрешностей 51

Ранее указывалось, что грубые погрешности (промахи) исключа­ются из общего ряда, поскольку они искажают результат измерений. Тем более это важно при малом числе измерений. Рассмотрим критерии оценки грубой погрешности. 51

Наиболее простым является отбрасывание результатов, имеющих погрешности, превышающие 3δ. Для этого предварительно обрабатывают полученный результат: находят среднее значение и среднюю квадрати­ческую погрешность. Определяют погрешность проверяемого результата Х_к - Х (Х_к - проверяемый результат измерения) и сравнивают с выб­ранным критерием 3δ. Результат, погрешность которого превышает выбранный критерий, содержит грубую погрешность и должен быть исключен из ряда. "Очищенный" ряд обрабатывают заново. Этот метод применим при достаточно большом числе измерений (n > 20). 51

При малом числе наблюдений более точные результаты дает кри­терий, основанный на распределении Стьюдента. Среднее значение и его среднюю квадратическую погрешность δ_х находят по результатам не всего ряда, а исключая проверяемый. Задаются некоторой вероятностью Р того, что проверяемая погрешность Х_к - Х не превысит зна­чения ε, которое определяется по формуле 51

ε = t _* δ_х , 51

где t находят по таблицам вероятностей Стьюдента для заданных Р и n . 51

Пример: Произведено 5 измерений. Подсчитана δ_х = 0,5. Задав­шись доверительной вероятностью P = 0,9, по таблицам Стьюдента при n = 5 находим t = 2,13. Следовательно, если какая - либо из пог­решностей превысит величину ε = 2,13х0,5 = 1,065, то ее следует считать грубой и исключать из рассмотрения. 51

12 РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 52

1.19 Оценка результата косвенного измерения 52

1.19 Оценка результата косвенного измерения 52

При косвенных измерениях значение искомой величины Y получают на основании известной зависимости величины Y и величин Х_i, кото­рые определяют путем прямых измерений. 52

Пусть зависимость имеет вид Y = F(Х₁,Х₂,Х₃)_. В промышленности прямые измерения осуществляются, как правило, однократно с помощью стандартных технических средств с заранее известной допустимой погрешностью. Если прямые измерения (с целью повышения точности) производятся многократно, то для определения результата косвенного измерения в расчетную формулу подставляют средние арифметические значения исходных прямых измерений, т.е. 52

_ _ _ _ 52

Y = F(Х₁,Х₂,Х₃) (12.1) 52

На погрешность косвенных измерений накладывает отпечаток не только погрешность прямых измерений, но и вид функциональной зави­симости. В дальнейшем будем предполагать, что аргументы попарно независимы друг от друга. 52

1.20 Суммирование систематических погрешностей 52

1.20 Суммирование систематических погрешностей 52

Если величины Х₁, Х₂, Х₃ измерены с некоторыми известными абсо­лютными погрешностями ∆Х₁, ∆Х₂, ∆Х₃, то и величина У будет определе­на с некоторой погрешностью, при этом 52

Y +∆Y = F(Х₁ + ∆Х₁, Х₂ + ∆Х₂, Х₃ + ∆Х₃) 52

Так как погрешности малы по сравнению с самими измеряемыми величинами, последнее уравнение можно разложить в ряд Тейлора (с оставлением только линейных членов) 52

52

Отсюда 52

(12.2) 52

Здесь - называют частными погрешностями косвенного измерения. Когда берут частную производную по одному из аргумен­тов, например Х₁, то остальные аргументы Х₂, Х₃ считаются постоян­ными. Кроме того, частные производные берутся в точках , соответс­твующих 52

средним значениям . 52

Формула (12.2) справедлива для любого вида функциональной свя­зи между Y и Х_i. 52

Рассмотрим два вида часто встречающихся формул. Измеряемая величина Y связана с величинами Х_i линейной зависимостью вида 52

Y = аХ₁ + вХ₂ + сХ₃ (12.3) 52

Тогда согласно (12.2) погрешность в определении 52

∆Y = а∆Х₁ + в∆Х₂ + с∆Х₃ (12.4) 52

Следует иметь в виду, что погрешности ∆Х_i выражены в тех же единицах, что и измеряемые величины. 52

Другой вид нелинейной зависимости между Y и Х_i: 52

(12.5) 52

где К - безразмерный коэффициент. В этом случае на основании (12.2) получаем 52

52

Это выражение неудобно для практических вычислений. Поэтому вместо абсолютной погрешности ∆Y найдем относительную погрешность 53

(12.6) 53

Здесь - относительная погрешность. 53

Пример 1. Мощность Р, поглощаемую в сопротивлении R, опреде­ляют путем измерения приложенного напряжения U с последующим вы­числением по формуле Р = U²/R. 53

Найдем погрешность определения Р, если R измерено с система­тической (относительной) погрешностью ∆R = +0,5%, а напряжение U с погрешностью ∆U = -2%. В данном случае Р = U² _* R^-1 и в соответс­твии с (12.5) имеем: 53

К = 1; α = 2; β = -1. 53

Пользуясь (12.6) находим 53

53

Примечание: рассмотренные систематические погрешности счита­лись постоянными и известными. Такие погрешности можно заранее исключить введением поправок. Кроме того, существуют так называе­мые неисключаемые систематические погрешности, которые рассматри­вают как случайные величины. Такие систематические погрешности при косвенных измерениях суммируют иначе ( /2/ с.143). 53

1.21 Суммирование случайных погрешностей 53

1.21 Суммирование случайных погрешностей 53

Результаты прямых измерений, содержащие случайные погрешнос­ти, являются случайными величинами, поэтому косвенно определяемую величину следует рассматривать как функцию случайных величин. Это дает возможность находить параметры точности (δ и др.) результата косвенных измерений по параметрам точности прямых измерений. 53

Из теории вероятностей известно, что средняя квадратическая погрешность косвенного измерения равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических погрешностей исходных прямых из­мерений, каждая из которых умножается на свою частную производную, т.е. 53

53

Здесь слагаемыеназываются частными случайными погрешностями, а частные производные коэффициентами влияния. 53

Если зависимость Y = F(Х₁,Х₂,Х₃) выражается линейным многоч­леном первой степени вида Y = аХ₁ + вХ₂ + сХ₃, то формула (12.7) принимает вид: 53

(12.8) 53

При нелинейной зависимости в виде степенной функции получаем формулу для относительной погрешности. 53

(12.9) 54

Формулы (12.7) - (12.9) справедливы при любых законах распре­деления погрешностей прямых измерений. Если законы распределения погрешностей прямых измерений одинаковы, то эти формулы можно при­менять для вычисления не только средней квадратической погрешности результата, но и предельной погрешности ∆. 54

Пример 1.2. Мощность Р, поглощаемую в сопротивлении R, опре­деляют путем измерения приложенного напряжения U с последующим вы­числением по формуле P = U²/R. 54

Найти предельную погрешность ∆_Р вычисления мощности Р при ус­ловии, что сопротивление R известно с предельной относительной погрешностью ∆R = 0,5%, а предельная относительная погрешность вольтметра ∆_U = 2%. Законы распределения указанных погрешностей нормальные. 54

В соответствии с (12.5) можно записать при этом К = 1; α = 2; β = -1. 54

Согласно (12.9) 54

54

Как видим, хотя примеры 1.1 и 1.2 имеют одинаковые исходные числа, но ответы получаются разными. Это объясняется тем, что в первом случае рассчитывались систематические погрешности, а во втором случае предельные, которые являются случайными величинами. 54

Пример 1.3. При измерении малой мощности постоянного тока при помощи амперметра и вольтметра мощность токоприемника вычисляют с учетом мощности, теряемой в обмотке амперметра, по формуле Р = IU - I²R, где R - сопротивление амперметра. 54

Найти среднюю квадратичекую погрешность измерения мощности δ_р, зная среднеквадратические случайные погрешности измерения силы тока δ_I, напряжения δ_U, и сопротивления δ_R. 54

Поскольку уравнение косвенного измерения представляет собой многочлен степени выше первой, то воспользуемся общей формулой (12.7). Найдем частные производные (коэффициенты влияния) 54

54

Примем следующие значения 54

I = 2,2 A ; U = 220 V; R = 100 Ω; 54

δ_I = 0,02 A; δ_U = 1 V; δ_R = 0,2 Ω. 54

Тогда в соответствии с (12.7) 54

W 54

При номинальной мощности Р_Н = 220 _* 2,2 = 484 W относительная погрешность. 54

54

1.22 Суммирование систематических и случайных погрешностей 54

1.22 Суммирование систематических и случайных погрешностей 54

Суммарная погрешность результата измерения определяется по формуле 54

∆_Е = ∆_С + ∆º , 54

где - ∆_С суммарная систематическая погрешность; ∆ - суммарная слу­чайная погрешность, включающая в себя все составляющие предельной случайной погрешности. 54

Если систематическая погрешность вычислена, то для нахождения результата измерений Х_N нужно в среднее значение внести поправку, т.е. вычесть систематическую погрешность. 55

55

13 ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ 55

Для оценки суммарной погрешности средств измерений и измери­тельных устройств в расчет берутся среднеквадратические погрешнос­ти их отдельных элементов. 55

В общем случае среднеквадратическое отклонение суммарной пог­решности при одинаковых законах распределения отдельных ее состав­ляющих определяется по формуле 55

(13.1) 55

где ρ_ij - коэффициент корреляции между i -той и j -той величинами. 55

При суммировании двух составляющих погрешностей соответственно будет 55

(13.2) 55

Если суммируемые составляющие погрешности коррелированны между собой жестко и положительно ( ρ = +1), тогда 55

(13.3) 55

При r = -1 55

(13.4) 55

Наиболее распространенным является случай, когда составляющие погрешности независимы, то есть при ρ = 0, тогда 55

(13.5) 55

14 РЕЗУЛЬТАТ ИЗМЕРЕНИЯ 56

Результат измерения - это числовое значение, которое приписы­вается измеряемой величине после завершения процесса измерения. 56

Результат измерения выражается в единицах данной физической величины и всегда содержит погрешность. Следовательно, результат измерений должен всегда содержать показатели точности. В свою оче­редь, знание показателя точности зависит от степени избыточности измерений (однократные, многократные и др.) 56

ГОСТ 8.011 - 72 "Показатели точности измерений и формы предс­тавления результатов измерений" устанавливает 4 способа представ­ления результата измерения. 56

Первый способ. Указывается результат измерения Х_N в единицах измеряемой величины. Точность выражается интервалом, в котором с установленной вероятностью находится сумма случайной и системати­ческой погрешностей. Форма записи: 56

Х_N = A; ∆ от ∆_н до ∆_в; Р 56

где Х_N - измеряемая величина; 56

А - результат измерения в единицах, допущенных к применению; 56

∆ - абсолютная погрешность; 56

∆_н - нижняя граница погрешности; 56

∆_в - верхняя граница погрешности; 56

Р - довери­тельная вероятность. 56

Пример: U = 23.2 B; ∆ от -0,5 до +0,5 B; Р = 0,997 56

Второй способ. Указывается результат измерения, доверительный интервал и доверительная вероятность систематической составляющей погрешности. Средняя квадратическая погрешность случайной погреш­ности и аппроксимирующий закон ее распределения. Форма записи: 56

Х_N = A; ∆Х_с от ∆Х_сн до ∆Х_св; Р_с ; δ () ; Р () 56

Третий способ. Форма записи: 56

Х_N = A; δ (∆_с); f (∆_с); δ () ; f () 56

Четвертый способ. Форма записи: 56

Х_N = A; f (∆с); f () 56

В настоящее время в инженерной практике применяется в основ­ном первый способ и то иногда в неполной форме. Указываются только пределы суммы систематической и случайной погрешности без указания доверительной вероятности. Например, на конденсаторах делают над­пись " 0,03 МкФ до ± 10%". В данном случае подобную запись понима­ют как указание пределов, в которых может находиться погрешность изготовленной детали с вероятностью, хотя и не указанной, но близ­кой к единице, т.е. число 10% можно рассматривать как предельную погрешность без указания закона распределения. 56

15 ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЙ 57

1. Округлять результат измерения следует так, чтобы он окан­чивался цифрой того же разряда, что и значение его погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасывают только до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности. 57

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то оставшиеся цифры числа не меняют. Лишние цифры в целых числах за­меняют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. 57

Примеры. Числовое значение результата измерения 39,5341 при погрешности в пределах ± 0,06 следует округлить до 39,53, то же число при погрешности ± 0,25 следует округлить до 39,534. 57

Число 325345 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 325300, число 325,354 - до 325,3. 57

3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна пяти, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. 57

Примеры. При сохранении трех значащих цифр число 13571 округ­ляют до 13600, число 131,57 - до 132. 57

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изме­няют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечет­ная. 57

Примеры. Число 20,5 при сохранении двух значащих цифр округ­ляют до 20, число 21,5 до 22. 57

16 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 58

1.23 Понятие энтропии информации и энтропийного значения погрешности 58

1.23 Понятие энтропии информации и энтропийного значения погрешности 58

Измерение с точки зрения теории информации рассматривается как процесс, в результате которого уменьшается неопределенность в сведениях об измеряемой величине. 58

Меру неопределенности выражают энтропией, а информация выра­жается в тех же единицах, что и энтропия. 58

При измерениях вследствие погрешности измерительного прибора количество информации на выходе прибора всегда меньше количества информации на входе. Таким образом, в результате измерения получа­ем количество информации 58

q = Н (Х) - Н (∆) (16.1) 58

где Н (Х) - энтропия входного сигнала; Н (∆) - энтропия погрешнос­ти. Таким образом, увеличение информации об измеряемой величине уменьшает энтропию (исходную неопределенность), однако полного раскрытия неопределенности достигнуть невозможно из-за наличия пог­решностей измерения. Энтропия сигнала с плотностью вероятности Р (х), согласно К.Шеннону, определяется таким выражением 58

(16.2) 58

С позиций теории информации процесс измерения понимается как сокращение диапазона неопределенности измеряемой величины. Так, если прибор имеет пределы измерения от X₁ до X₂, то вероятность получения отсчета в пределах шкалы прибора равна единице, а за пределами шкалы - нулю . 58

Например, при равномерном распределении измеряемой величины в пределах от X₁ до X₂ начальная неопределенность об измеряемой ве­личине (до измерения) характеризуется малой плотностью вероятности (рис 16.1) 58

(16.3) 58

После измерения неопределенность сократилась до интервала неопре­деленности d = 2∆ и плотность вероятности увеличилась до величины 58

(16.4) 58

Иначе, энтропия значений измеряемой величины до измерения 58

Н (х) = ln ( Х₂ - Х₁) , (16.5) 58

а энтропия погрешности 58

Н (∆) = ln d = ln 2∆ , (16.6) 58

тогда количество информации 58

58

Последнее соотношение 58

q = ln N, если N = (Х₂ - Х₁) / d_э, 58

справедливо при любом законе распределения вероятностей погрешнос­ти, поэтому число N было предложено называть числом различных гра­даций измеряемой величины (числом эквивалентных делений) в диапа­зоне X₂ - X₁ при данном законе Р(х) распределения погрешности, а d_э - эквивалентным (в антропйном смысле) интервалом неопределенности. 59

Значение эквивалентного интервала неопределенности можно ма­тематически определить для любого закона распределения как величи­ну, стоящую под знаком логарифма в выражении для Н (∆), устраняя тем самым возможность какого - либо произвола. 59

Например, для нормально распределенной погрешности, т.е. при 59

(16.8) 59

и 59

(16.9) 59

получаем 59

(16.10) 59

Учитывая, что 59

= 1 59

и по определению дисперсии 59

=δ² 59

получаем 59

(16.11) 59

Тогда эквивалентный интервал неопределенности 59

(16.12) 59

Аналогично можно получить, что при равномерном законе распределе­ния погрешности 59

, (16.13) 59

а число различимых градаций измеряемой величины 59

(16.14) 59

Разделение диапазона X₂ - X₁ измеряемой величины на отдельные различимые градации на основании формальных приложений теории ин­формации в виде функционала (16.14) для энтропии представлено на рис (16.2). Здесь диапазон X₂ - X₁ разбит на эквивалентные интервалы d_э, вычисленные указанным выше путем, и относительно центра каждо­го такого интервала как начала координат построена кривая соответствующего закона распределения погрешности (равномерного, треу­гольного и нормального). 59

Из рисунка видно, что смысл шенноновского определения энтро­пии помехи состоит в том, что только при равномерном распределении погрешности границы интервалов неопределенности (логарифм числа которых есть количество информации q = lnN) совпадает с границами распределения погрешности, т.е. отдельные полосы погрешностей лишь соприкасаются между собой. 59

При треугольном, а тем более, при нормальном распределении погрешности эквивалентные интервалы уже размаха распределения пог­решностей и определяются лишь той частью распределения, где сосре­доточена основная масса этих погрешностей, а края распределений перекрываются. 60

При практическом использовании приведенных соотношений удобнее оперировать с половиной интервала d_э, именуемой энтропийным значением погрешности ∆_э. 60

Формально энтропийное значение погрешности определяется из соотношений 60

Н(∆) = lnd_э = ln2∆_э 60

(16.15) 60

d_э = 2∆_э = е^H(∆); ∆_э =1/2 е^H(∆) 60

Соотношение между ∆_э и δ зависят от вида закона распределения и оп­ределяется энтропийным коэффициентом К = ∆_э/δ 60

Так, для нормального закона 60

(16.16) 60

Следовательно, К = 2,07 60

Для треугольного закона (Симпсона) К = 2,02 60

Для равномерного закона 60

= 1.73δ; К = 1.73 (16.17) 60

Одним из достоинств энтропийного значения погрешности являет­ся очень простая связь мощности помехи δ² с вносимой ею дезинфор­мацией Н(∆) или с получаемым при измерении количеством информации q, а именно 60

(16.18) 60

исключая допускаемый без этого произвол. Действительно, до применения теории информации не было формального логического обоснован­ного соотношения между среднеквадратическим δ и практически норми­руемым ("предельным") ∆_m значениями погрешности. Так, при равно­мерном законе распределения указывают ∆_m = 1.73δ, а при нормальном законе ∆_m = 2δ при Р_q = 0.955 либо ∆_m = 3δ при Р_q = 0.997. 60

Как видно из изложенного выше, энтропийное значение погреш­ности почти точно соответствует практически используемым сейчас оценкам случайных погрешностей. Иначе говоря, используемая в нас­тоящее время оценка в виде ∆_m из серии 20-30 наблюдений очень 60

близка к именно энтропийному значению погрешности. 60

1.24 Единицы измерения энтропии и количества информации 60

1.24 Единицы измерения энтропии и количества информации 60

Единица измерения энтропии и информации зависит от выбора ос­нования логарифма. При теоретическом анализе удобно использовать натуральные логарифмы и тогда энтропия и информация измеряются в так называемых натуральных единицах (сокращенно - нит). 60

При анализе устройств, работающих в двоичном коде (например ЭЦВМ), используют двоичные логарифмы и тогда информацию получают в двоичных единицах (сокращенно - бит). И наконец, при анализе уст­ройств, работающих в десятичном коде, получают десятичные единицы энтропии (сокращенно - дит). 60

Соотношение между этими единицами следующее: 60

1дит = 2,3 нит = 3,6 бит; 1 нит = 1,45 бит = 0,43 дит; 1 бит = 0,69 нит = 0,3дит. 60

Следует помнить, что в вычислениях значения X и ∆ должны подставляться в одних и тех же единицах. 60

1.25 Вычисление энтропийного значения погрешности по экспериментальным данным 61

1.25 Вычисление энтропийного значения погрешности по экспериментальным данным 61

В соответствии с определением 61

61

Здесь Р (х) определяется из гистограммы, где для каждого столбца Р_i(х_i) = n_i/nd. При количестве столбцов m и координатах центров этих столбцов х_i получаем 61

(16.19) 61

Представив последнее выражение в виде 61

(16.20) 61

получаем выражение для оценки энтропийного значения погрешности 61

(16.21) 61

Эта оценка является смещенной. Для введения поправки на смещение от недостаточно большого числа n_i наблюдений полученная оценка должна быть умножена на коэффициент 61

(16.22) 61

Л и т е р а т у р а 61

Л и т е р а т у р а 61

1. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно - измери­тельной техники. - К.: Выща школа, 1976.- 432 с. 61

2. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978.- 262 с. 61

3. Электрические измерения неэлектрических величин / под редакцией П.В.Новицкого.- 5-е издание. - Л.: Энергия, 1975.- 576 с. 61

4. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств.- Л.: Энергия, 1968.- 248 с. 61

5. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешности результа­тов измерений.- Л.: Энергоиздат, 1985.- 248 с. 61

6. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая ста­тистика.- М.: Статистика, 1970.- 344с. 61

1Понятие измерения, погрешности и точности.

Измерение (ГОСТ 16263-70) - нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Метрология - это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Физическая величина - это свойство, общее в качественном от­ношении множеству объектов и индивидуальное в количественном отно­шении у каждого из них.

Погрешность измерения - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Определить истинное значение величины, то есть такое значе­ние, которое идеальным образом отражало бы в качественном и коли­чественном отношении соответствующее свойство объекта, не представ­ляется возможным. На практике определяется действительное значение величины - значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Результат измерения - оценка измеряемой величины в виде неко­торого числа принятых для нее единиц полученная путем измерения.

Итак, если x - результат измерения, X - истинное значение из­меряемой величины, то абсолютная погрешность измерения.

∆ = х - Х .

Относительная погрешность - выражается в долях истинного зна­чения измеряемой величины (либо в %) :

Точность измерений по ГОСТ 16263-70 определяется как качество измерений, отражающее близость полученного измеренного значения к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность ха­рактеризуется числом, равным обратному значению относительной пог­решности, выраженной в долях измеряемой величины :

При γ =0.001 точность измерений равна 1000. В метрологии и при практических измерениях точность, как правило, количественно не оце­нивается, а характеризуется косвенно, с помощью погрешности измере­ния.

2Классификация измерений

По способу получения числового значения искомой величины (иначе, по характеру уравнения измерения) измерения делят на пря­мые, косвенные, совокупные и совместные. Такая классификация важна с точки зрения обработки экспериментальных данных и расчета пог­решностей.

При прямом измерении искомое значение величины находят не­посредственно из опытных данных, то есть прямо по шкале прибора (иногда показания прибора умножают на некоторый коэффициент, вво­дят соответствующие поправки и так далее).

Например, измерение температуры стеклянным термометром, дли­ны - метром, тока - амперметром и так далее.

При этом простота и сложность процесса измерений во внимание не принимаются. Существенным признаком прямых измерений является то, что результат выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.

При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величи­ны находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, которые находят в результате прямых, а иногда и кос­венных совместных или совокупных измерений.

Например, нахождение плотности твердого тела как отношение массы тела к его объему, причем, масса и объем измеряются непос­редственно; нахождение удельного электрического сопротивления про­водника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения; измерение расхода жидкости по перепаду давления в сужающем уст­ройстве.

Таким образом, косвенное измерение всегда связано с расчетом (однако внесение поправки не превращает прямое измерение в косвен­ное).

Прибегать к косвенным измерениям приходится тогда, когда ис­комую величину невозможно или сложно измерить непосредственно пу­тем прямого измерения.

При совокупных измерениях производятся одновременно измере­ния нескольких одноименных величин. Искомые значения величин нахо­дят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

СОВМЕСТНЫЕ - это производимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Например, измерение, при котором массы отдельных гирь набора находят по известной массе одной из них и по результатам сравнения масс различных сочетаний гирь данного набора - это совокупное из­мерение. При этом искомые значения масс гирь определяют решением системы уравнений. Пример совместного измерения - определение тем­пературных коэффициентов резисторов.

Путем решения двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

R_{t1 =} R_{0 +} αR₀ t_{1 +} βR₀ t₁²

R_{t2 =} R_{0 +} αR₀ t_{2 +} βR₀ t₂²

определяют α и β

Здесь R_t1, R_t2, t₁, t₂ являются величинами, измеряемыми пря­мым путем. Кроме того, измерения называются обыкновенными, если они выполняются с однократным наблюдением и статистическими, если они выполняются многократно. Последние выполняются для уменьшения погрешности.