Запитання

1. Що таке вислів і алгебра висловів?

2. Які є логічні сталі?

3. Які ви знаєте основні логічні операції?

4. Який пріоритет логічних операцій?

5. Для чого використовуються логічні формули?

6. Що таке автомат?

7. Які є етапи створення автомата?

Вправи

1. Які вислови є істинними, а які — хибними:

а) «сьогодні 10 жовтня»; б) «доба має 24 години»;

в) «завтра буде урок інформатики»; г) «Х > 10» , якщо Х = 20;

д) «X < 100» , якщо Х = 200; д) «надворі дощ»?

Записати відповіді у вигляді ланцюжка з 6 бітів.

2. Доведіть властивості, побудувавши відповідні таблиці істинності:

а) А + 1 = 1; б) А • 0 = 0; в) A + = 1; г) А • = 0;

д) А + B = B + А.

3. Перевірте правильність другої формули де Моргана.

4. Дано логічні формули автоматів:

4.1)D=А·B; 4.2)D=А+С; 4.3) В =А +B + .

Якого значення набуде змінна D, якщо:

а) А = 0, B = 0, С = 1; б) А = 0, B = 1, С = 1;

в)А= 1, B = 1, С = 1; г)А= 0, B =0, С= 0;

д)А = 1, B = 0, С = О?

Запишіть відповіді у вигляді ланцюжка з 5 бітів.

5. Спростіть логічні вирази:

а) А +А • B; б) • B + 1; в) A • B + А • С +А; г) А • + B • ;

д) А • + А • .

6. Спростіть логічні вирази:

а) А • B • А + B • А • B; б) А • B • (А + ); в) А + B • + ;

г) (А + ) (А • B + А); д) А • B • С+А • B • +B • С • B.

7. Побудуйте таблицю істинності логічної операції D = А • B • С.

8. Дано логічну формулу автомата: D=А · B · + · B · С+ · .

Чи буде сигнал на виході D, якщо:

а) А = 0, B = 0, С = 1; б) А = 0, B = 1, С = 1;

в) А = 1, B = 1, С = 1; г)А = 0, B = 0, С= 0;

д) А = 1, B = 0, С= О?

Запишіть відповіді у вигляді ланцюжка з 5 бітів. ___

9. Нарисуйте хеми автоматів, заданих формулами:

а)С= • +А • B;

б)С= • B+А • ; в)D = А · B • + • • С+А · .

10. Змагання судять троє суддів. Якщо суддя вважає, що слід призначити штрафний удар, він натискає на кнопку (подає сигнал на вхід автомата). Головний суддя має кнопку А, два інші — кнопки B і С. На табло з'явиться повідомлення «ШТРАФНИЙ УДАР» і пролунає свисток (це сигнал на виході автомата), якщо рішення прийнято трьома суддями, або двома, серед яких є головний суддя. Складіть логічну формулу і функціональну (фізичну) схему автомата.

11. Розв'яжіть логічну задачу про тендер комп'ютерних фірм, якщо другий прогноз був таким: ІВМ —друге місце, АРРLЕ —третє.

§ 7. Системи числення (1)

1. Поняття про системи числення. Десять пальців рук — це перший пристрій для рахунків, яким людина користується з доісторичних часів. Число 10 стало основою десяткової системи числення, алфавіт якої складається з десяти цифр: від 0 до 9.

У різні історичні періоди користувалися також системами числення, відмінними від десяткової. Широко застосовували дванадцяткову систему. Її походження пов'язують з рахунками на чотирьох вказівних пальцях руки, які мають 12 фаланг. До нашого часу ця система дійшла у словах «дюжина», «грос»— дюжина дюжин, «маса» — дюжина гросів, 1 фут =12 дюймів, 1 шилінг =12 пенсів. У давньому Вавилоні діяла шістдесяткова система числення. Її ми використовуємо і сьогодні. Наприклад, 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд, 1 градус = 60 хвилин. Є змішані системи числення. Наприклад, 1 доба = 24 години, 1 година = 60 хвилин і т. ін. Деякі африканські народи користувались п'ятірковою системою числення, а ацтеки і майя — двадцятковою.

Задача 1. Скільком одиницям дорівнюють 2 гроси?

Розв'язування. 2 гроси = 2 · 12 · 12 = 288.

Система числення — це алфавіт системи та правила утворення чисел і дій з ними. Системи числення є позиційними або непозиційними.

2. Позиційні системи числення. У позиційній системі значення цифри залежить від позиції, яку цифра займає в зображенні числа. У цілих числах позиції нумерують справа наліво, починаючи з нульової.

Наприклад, у числі 4321 остання цифра 1 перебуває у нульовій позиції й означає кількість одиниць; передостання цифра 2 стоїть у першій позиції й означає кількість десятків (у нашому випадку — це 2 десятки) і т. ін. Отже, число 4321 можна записати у вигляді такої суми:

4321 = 4 · 1000 + 3 · 100 + 2 · 10 + 1 = 4 · 10³ + 3 · 10² + 2 · 10¹ + 1 · 10⁰.

Щоб означити, що число належить саме до десяткової системи числення, пишуть (4321)₁₀. Число 10 є основою десяткової системи числення.

Розглянемо системи числення з основами, відмінними від 10.

Алфавіт системи числення з основою р. Алфавіт системи числення з основою р складається з р цифр: 0, 1, 2,..., р-1.

Інші цифри використовувати не можна. Найчастіше застосовують системи числення з основами 2, 8, 10, 16.

Відомо, що у десятковій системі алфавіт складається з таких цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У системі числення з основою р = 8 алфавіт такий: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

У двійковій системі числення р = 2. Алфавіт системи складається з двох цифр: 0, 1. Приклади двійкових чисел: (110011)₂, (1110001)₂, (101)₂,.

Десяткове значення двійкового числа вигляду (а_k а_{k -1} ...а₁ a₀)₂, визначають за формулою

(а_k а_{k -1} ...а₁ a₀)₂ =а_k • 2^k+а_{k -1} • 2^{k –1} + ...+ а₁ · 2 + а₀.

Наведемо приклади двійкових чисел та їхні десяткові значення:

(1)₂ =1-2°=1;

(10)₂ = 1 • 2¹ + 0 • 2° = 2;

(11)₂ =1 · 2¹ + 1 · 2⁰=3;

(100)₂ = 1 • 2² + 0 • 2¹ + 0 • 2° = 4;

(101)₂ = 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2° = 5;

(110)₂ = 1 • 2² + 1 • 2¹ +0 • 2° = 6;

(111)₂ =1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 7;

(1000)₂ = 1 • 2³ + 0 • 2² + 0 • 2¹ + 0 • 2° = 8.

3. Переведення чисел з системи числення з основою р у десяткову систему. Розглянемо формулу, яка описує правило переведення цілих чисел із системи числення з основою р, зокрема двійкових (якщо р= 2), у числа десяткової системи: (а_k а_{k -1} ...а₁ a₀)_p = а_k p^k +а_{k –1} · p^{k – 1} + ... + а₁· p+ a₀.

Як приклад розглянемо переведення чисел з вісімкової системи у десяткову:

(а_k а_{k -1} ...а₁ a₀)₈ =а_k • 8^k + а_{k –1} • 8^{k – 1} + ...+ а₁ · 8 + а₀;

(37)₈ = 3 · 8¹ + 7 = 24 + 7 = 31;

(4321)₈ =4 • 8³ + 3 • 8² + 2 · 8 + 1 = 2048+192+16+1=2257;

З а дача 2. Двійковий код символа пересилається від клавіатури в пам'ять восьмирозрядною шиною. Провідники в шині пронумеровані від 0 до 7. Визначити десяткове значення коду, якщо відомо, що напруга є в першому, третьому і шостому провідниках.

Номер провідника	Наявність сигналу	Код
7	Немає	0
6	Є	1
5	Немає	0
4	Немає	0
3	Є	1
2	Немає	0
1	Є	1
0	Немає	0

Отже, десяткове значення коду таке: (01001010)₂ = 2⁶ + 2³ + 2¹ = 64+8+2 = 74.

З таблиці кодів АSСІІ можна визначити, що цим символом є літера <І.

4. Переведення чисел з десяткової системи в іншу. Будь-яке десяткове число можна записати в іншій системі числення, наприклад, у вісімковій, двійковій тощо.

Правило. Щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою р, треба виконати послідовне ділення цього числа на число р за таким алгоритмом.

1. Число поділити без остачі на р.

2. Визначити остачу і частку.

3. Якщо частка менша за р, то виконати пункт 6, якщо ні, то виконати пункт 4.

4. Розглянути частку як нове число.

5. Виконати пункти 1,2,3.

6. Прочитати результат.

Результат — це послідовність цифр, що складається з останньої частки та всіх остач, починаючи від останньої.

Приклад 1. Перевести (125)₁₀ у вісімкову систему числення.

Результат: (175)₈.

Ділення рекомендують виконувати так:

Переведення цілих чисел у двійкову систему виконують у два етапи:

1) спочатку переводять десяткове число в систему з основою p =8;

2) отримане число переводять у двійкову систему.

Щоб перевести число з вісімкової системи у двійкову, використовують наступну таблицю кодів (рис. 1.9).

0	1	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	100	101	110	111

Рис. 1.9. Таблиця двійкових кодів чисел від 0 до 7

Користуючись таблицею, замінюють цифри у вісімковому числі відповідними двійковими кодами. Отримують шукане двійкове число.

Наприклад, (175)₈ = (001 111 101)₂ = (1111101)₂.

Нулі на початку числа можна відкинути. Нулі у кінці числа відкидати не можна.

Отже, (125)₁₀ =(1111101)₂.

Перевіримо, чи дорівнює отримане двійкове число (125)₁₀:

(1111101)₂ = 1 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1· 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰=

=64+32 +16+8+4+0+1= 125.

Довідка 1. Для переведення десяткових чисел у двійкову систему можна

користуватися і наведеним вище правилом для значення р=2, але такий спосіб є громіздким.

З а д а ч а З*. Розглянемо панель керування літальним апаратом з тумблерами-перемикачами. Перемикачі мають номери від 0 до 7 (зліва на право). За допомогою такої панелі можна подати 256 різних команд. Ось десяткові коди деяких з них: 125—зліт; 126—посадка; 127—гальмування; 128— негайна зупинка; 129— рівномірне прискорення; 130— увімкнути прожектор; 131— вимкнути прожектор. Які перемикачі потрібно увімкнути, щоб подати команду а) «посадка»; б) «негайна зупинка»?

Розв'язування. У випадку завдання а) відповідь дасть двійкове зображення числа 126. А саме, якщо у деякій позиції відповідного двійкового числа буде одиниця, то треба увімкнути перемикач, що має номер цієї позиції, якщо ж буде нуль, то перемикач вмикати не треба.

Двійкове число можна визначити за правилом ділення або методом підбору так: число 126 складемо з чисел 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1:

126= 64 +32 + 16 + 8+ 4 + 2 = 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = (01111110)₂ .

Отже, потрібно увімкнути перемикачі з номерами 1,2,3,4,5,6.

У випадку завдання б) потрібно увімнути 7-й перемикач, бо 128 = 2⁷ = (10000000)₂ - одиниця стоїть у сьомій позиції двійкового коду.