Приложение 1

Вывод основных зависимостей при растяжении, кручении и изгибе стержня

При рассмотрении отдельных видов деформации (нагружения) стержня в соответствующих разделах подробно рассматривалось получение основных зависимостей и их преобразования. В приводимой ниже таблице повторены эти выводы в сжатом виде.

Вид нагружения

Растяжение

Кручение

Изгиб

№

ур-я

Кинематические

ε ==

dw

γ =

dϕ

ε ==

dθ

ρ

y

(1)

зависимости

dz

dz

dz

Физические

σ

= Eε

ττ

= Gγ

σ = Eε

(2)

зависимости

Статические

N =

∫σ dF

M K =

∫ ρτ dF

M

=

∫ yσ

dF

(3)

зависимости

F

F

F

(1) →

(2)

σ ==

E

dw

τ =

G

dρ

ρ

σ

= E

dθ

y

(4)

dz

dy

dz

(4) →

(3)

dw

=

N

dϕ

=

M K

dθ

=

M

(5)

Дифференциальные

dz

EJx

dz

G JP

уравнения

dz

EF

(5) →

(4)

N

τ =

M K

ρρ

σ

=

M

y

(6)

Напряжения

σ

=

Jx

в сечении

F

JP

Максимальные

σ

=

N

τ max

=

M K

σ max

=

M

напряжения

WP

Wx

(7)

F

в сечении

Wx=JP/τ max

Wx=Jx/ymax

Следует обратить внимание на единообразие получения и преобразования зависимостей при различных видах нагружения, а также на полную аналогию зависимостей при кручении и изгибе.

Приложение 2

Основные расчетные формулы

Растяжение и сжатие

№

Смысл зависимости

Формула

Примечания

1

Определение внутренних

∑ Fz = 0

N

N - нормальная (продольная) сила

сил по методу сечений

N = ∑

Pi

Pi - внешние силы

2

Напряжения в

σ

=

N

σ

- нормальные напряжения

поперечном сечении

F

F - площадь поперечного сечения

стержня

3

Напряжения в

σ

α

=

σσ cos2 α

σ - нормальные напряжения в попереч-

наклонном сечении

τ

=

1

σσ

sin2α

ном сечении; α - угол между поперечным

стержня

α

и наклонным сечениями

2

Условие прочности для

σ max ≤

[σ

]

[σ ]=σ T/nT - допускаемые напряжения при

4

стержня из пластичного

растяжении и сжатии

материала

5

Условия прочности для

σ

р,max ≤

[σ

]р

[σ ]р=σ вр /nв , [σ ]с=σ вс/nв -

стержня из хрупкого

σ

с,max ≤

[σ

]с

допускаемые напряжения при

материала

растяжении и сжатии

6

Линейная деформация

ε

=

∆

l

l - длина участка

на участке

l

∆ l - изменение длины участка

7

Закон Гука

σ

=

Eε , εε

=

σ

E - модуль Юнга материала

для материала

E

8

Закон Гука

∆ l

=

N l

При постоянной деформации на

для участка стержня

E F

участке ε = const

9

Коэффициент

=

ε

′

ε / - поперечная деформация

Пуассона

ε

ε

- продольная деформация

10

Определение поперечной

ε

′

=

−

εε

- коэффициент Пуассона

деформации

Продольные перемеще-

wz=wo+ε z

wo - перемещение сечения при z=0 на

11

ния поперечных сечений

участке ε = const

12

Перемещение

wН - перемещение начального сечения

сечения в конце

wк=wн+∆ l

участка

участка стержня

Стержневые системы

Определение усилий

∑

Fx=0,

∑

Fy=0,

13

из уравнений

∑

mz=0,

Ni

Ni - нормальная сила в i-ом стержне

равновесия

14

Определение

σ i = Ni / Fi

σ i - напряжения в i-ом стержнe

напряжений

m

N

N l

- нормальная сила в i-ом стержне для

15

Определение

N

i

δ

==

∑

i

ii

перемещений по методу

EiFi

единичного состояния; Ni - нормальная

i=

сила в i-ом стержне для грузового со-

единичной нагрузки

1

стояния; m- число стержней

Кручение

№

Смысл зависимости

Формула

Примечания

Определение внутренних

∑

mz=0

Mк

Mк – крутящий момент

моментов по

1

в сечении

методу сечений

Касательные напряжения в

τ

=

M

K

ρ

Jр - полярный момент инерции се-

2

произвольной точке круглого

чения; ρ- расстояние от центра се-

Jp

сечения

чения до точки

Максимальные

τ max

=

M

Wp=Jp/ρmax - полярный

K

момент сопротивления сечения;

3

касательные

Wp

ρmax – расстояние от центра до

напряжения в сечении

наиболее удаленных точек

4

Условие прочности

τ max ≤

[τ ]

[τ ]=τ T/ nT - допускаемые

вала при кручении

напряжения

Напряжения в наклонных

σ

α

=

τ sin2α

τ - касательные напряжения

5

чистого сдвига;

площадках

τ α

=

ττ cos2α

α

- угол между поперечным

при чистом сдвиге

и наклонным сечениями

Закон Гука

τ

=

Gγ

γ - угловая деформация

6

(угол сдвига)

при чистом сдвиге

G - модуль сдвига

материала

7

Связь модуля сдвига G

G =

E

µ

- коэффициент Пуассона

и модуля Юнга E

2(1+

)

8

Относительный угол

ϕ ′ =

dϕ ;ϕ ′=

M K

ϕ - функция углов поворота

закручивания

dz

GJp

сечений

Определение углов

ϕ z=ϕ o+ϕ

/

z

ϕ /=const - относительный угол за-

9

закручивания

кручивания на участке

на участке

10

Угол закручивания

∆ ϕ

=

ϕ ′l =

M K l

ϕ /=const на участке

участка вала

G J p

l - длина участка

11

Угловое перемещение

ϕ

= ϕϕ

+

∆ϕϕ

ϕ Н,– угол поворота начального се-

сечения

чения; ∆ϕϕ - угол закручивания уча-

в конце участка вала

K

H

стка

12

Условие жесткости вала

ϕ ′

≤

ϕϕ

′

]

[ϕ′′] - допускаемый относительный

угол закручивания

max

[

Касательные напряжения

τ max

=

M к

WK=α ab2 - момент сопротивления

13

прямоугольного сечения при круче-

τ max и τ′′

Wк

нии;

стороны

в прямоугольном сечении

τ / = ηττ max

a, b - большая и малая

прямоугольника

14

Угол закручивания вала пря-

∆

ϕ

=

M Kl

JK=βab3 - момент инерции

прямоугольного сечения

моугольного сечения

GJ K

при кручении

Изгиб

№

Смысл зависимости

Формула

Примечания

Определение

∑

Fy=0

Q

Q - поперечная сила;

внутренних сил

1

∑ mx=0

M

M - изгибающий момент

по методу сечений

dQ

= q ;

dM

= Q

Дифференциальные

dz

dz

q – интенсивность распределённой

2

зависимости

2

нагрузки

при изгибе

d

M

=

q

2

dz

Нормальные

=

M

Jx - момент инерции сечения относитель-

напряжения

σ

y

3

в произвольной точке

но главной центральной оси x; y – рас-

поперечного сечения

Jx

стояние от оси x до точки

Максимальные

M

4

нормальные

σ

m ax =

Wx - момент сопротивления сечения

напряжения

W x

в сечении

Условие прочности для

σ max - максимальные напряжения

5

балки

σ max ≤

[σ

]

в балке

из пластичного

материала

[σ ]=σ T /nT - допускаемые напряжения

6

Условия прочности для

σ

р,max ≤

[σ

]р

[σ ]р=σ вр / nв , [σ ]с=σ вс / nв -

балки из хрупкого

σ

с,max ≤

[σ

]с

допускаемые напряжения при

материала

растяжении и сжатии

Касательные

Q

S*x

b(y) - ширина сечения в месте

7

напряжения

τ

=

определения напряжений;

в произвольной точке

Sx*- статический момент отсечённой

Jx

b(y)

сечения балки

части сечения

Зависимость

=

dv

v - прогиб сечения балки

8

между

θ

линейным и угловым

θ - угол поворота сечения балки

dz

перемещениями

9

Определение

κ =

dθ

;κκ =

M

M - изгибающий момент в сечении

кривизны оси балки в

сечении

dz

EJx

EJx - жесткость балки при изгибе

10

Дифференциальное

d2v

=

M

M(z) - функция изгибающего

уравнение упругой ли-

момента по длине балки

dz2

EJx

нии балки

Интеграл Мора

=

∫

Ì 1Ì

δ - линейное или угловое

перемеще-

11

для определения

δ

dz

ние сечения балки,

EJx

перемещений

l

M(z), М1(z) - функции моментов для гру-

сечений балки

зового и единичного состояний

Способ Верещагина

=

n

ω iη i

ω - площадь «грузовой эпюры»;

12

для вычисления

δ

∑

η - ордината на «единичной эпюре» под

интеграла Мора

i (E Jx )i

центром площади грузовой эпюры