3.6 Методика исследования связи между износом гильз цилиндров и их наработкой
Важный вопрос при исследовании износов гильз цилиндров и ее наработкой. Показатели износа по своей природе являются случайными величинами и имеют корреляционную связь с наработкой.
Исходной информацией служат результаты опытов, в которых для партии N гильз цилиндров фиксировались износ «Х» и наработка этих гильз «Y». Задачей является построение и анализ корреляционного уравнения Y = f(Х).
Рассмотрим построение линейного уравнения парной корреляции
Y = В0 + В1Х
При применении корреляционного и регрессивного анализа статистические данные должны удовлетворять следующим требованиям:
Результаты наблюдений Х и Y в процессе проведения эксперимента должны быть случайными и независимыми величинами;
Случайные величины Х и Y должны быть распределены по нормальному закону.
Проверка случайности и независимости наблюдений.
Для проверки случайности и независимости наблюдений используется критерий серий.
Порядок вычислений
1) Из ранее полученных результатов опытов в порядке их проведения (см. таблицы 3.2) составляем вариационный ряд
Х1≤Х2≤…≤ХN,
Y1≤Y2≤…≤YN.
2) Определяем медианное (среднее) значение для полученных вариационных рядов
;
,
Если N – нечетное
;
Если N – четное
3) Каждое значение величины Х и У из соответствующих рядов, записанных в порядке наблюдений, сравниваются с медианой Хmed или Уmed соответственно. Если сравниваемые значения Х>Xmed (У >Уmed), то ставится знак «+», а если Х <Хmed (У <Уmed),то ставится знак «-».
Последовательность одинаковых знаков, стоящих рядом, называется серией. В результате ряд числовых значений, полученных в порядке наблюдений, преобразуются в ряд, стоящих из знаков «+» или «-».
4) Определяем
количество серий
(
)
5) Определяем размер
наиболее длинной серии
(
),
то есть максимальное количество
одинаковых знаков, стоящих рядом.
6) Проверяется гипотеза о независимости и случайности результата наблюдений. Величина Х (Y) считается случайной, и наблюдения независимыми, если выполняются условия
где
- нормированная случайная величина,
которая выбирается по таблице функции
Лапласа для уровня значимости
(см. таблицу 3.4).
Таблица 3.4
Значение z для различных
|
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
Проверка условия распределения случайных величин Х и Y по нормальному закону.
Для проверки этого условия используется критерий W
1) Выборки значений величин Х (Y) выстраиваются в вариационные ряды соответственно.
2) Вычисляется величина Sx2 (Sy2).
3) Вычисляется величина Вх (Ву)
где
если N
– четное;
если N
- нечетное
Значения
берутся из таблицы 3.5
4) Вычисляется значение W статистически для X (Y).
5) Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х (Y). Расчетное значение W сравнивается с критическим, которое определяется по таблице 3.5 для уровня значимости λ и разъема выборки N.
Таблица 3.5
Коэффициент An-m+1 и критические значения
W- статистики для уровня значимости λ
|
Объем выборки |
|||||||||
4 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1 |
0,687 |
0,605 |
0,589 |
0,574 |
0,560 |
0,548 |
0,636 |
0,525 |
0,515 |
0,506 |
2 |
0,168 |
0,315 |
0,324 |
0,329 |
0,332 |
0,333 |
0,333 |
0,332 |
0,331 |
0,329 |
3 |
|
0,174 |
0,198 |
0,214 |
0,226 |
0,235 |
0,241 |
0,246 |
0,250 |
0,252 |
4 |
|
0,056 |
0,095 |
0,122 |
0,143 |
0,159 |
0,171 |
0,180 |
0,188 |
0,194 |
5 |
|
|
|
0,040 |
0,070 |
0,092 |
0,110 |
0,124 |
0,135 |
0,145 |
6 |
|
|
|
|
|
0,030 |
0,054 |
0,073 |
0,088 |
0,101 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0,024 |
0,043 |
0,059 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,020 |
λ=0,05 |
0,748 |
0,818 |
0,829 |
0,842 |
0,850 |
0,859 |
0,866 |
0,874 |
0,881 |
0,887 |
Wкрλ=0,10 |
0,792 |
0,851 |
0,859 |
0,869 |
0,678 |
0,883 |
0,889 |
0,895 |
0,901 |
0,905 |
Если W>Wкр, то гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины Х (Y) не отвергается.
Построение уравнения регрессии.
Исходная гипотеза выдвигается о том, что зависимость показателя наработки Y от показателя износа гильзы цилиндра Х может быть описана зависимостью
Y= bo + b1х
Решение задачи построения уравнения регрессии осуществляется в следующей последовательности:
1) Вычисление характеристик распределения Х и Y.
2) Вычисление средних значений:
3) Вычисление выборочных дисперсий и средних квадратических отклонений Х и Y:
4) Определение оценок коэффициентов регрессии
5) Вычисление оценки остаточной дисперсии
где
и
- соответственно фактическое и расчетное
значение параметра Y
в i-м
опыте;
-
число степеней свободы остаточной
дисперсии.
Значения
вычисляется для всех
с помощью полученного уравнения
.
6) Число степеней свободы остаточной дисперсии
,
где V – число коэффициентов в уравнение регрессии
7) Определение точности оценок коэффициентов уравнения регрессии.
Точность оценок коэффициентов уравнения характеризуется их средними квадратичными отклонениями
;
.
8) Проверка статической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии.
Проверку гипотезы о значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента
.
Критическое
значение t-критерия
определяется по таблице 3.6 при уровне
значимости
и числе степеней свободы
при
,
то гипотеза о значимости коэффициента
«b»
не отвергается.
Таблица 3.6
Значение квантилей
-
распределения Стьюдента
Число степеней свободы |
Уровень значимости |
||
0.025 |
0.05 |
0,10 |
|
2 |
4,303 |
2,920 |
1,886 |
4 |
2,776 |
2,132 |
1,533 |
6 |
2,447 |
1,943 |
1,440 |
8 |
2,306 |
1,860 |
1,397 |
10 |
2,228 |
1,813 |
1,372 |
12 |
2,179 |
1,782 |
1,356 |
14 |
2,145 |
1,761 |
1,345 |
16 |
2,120 |
1,746 |
1,337 |
18 |
2,101 |
1,734 |
1,330 |
Проверка адекватности уравнения регрессии
Проверку осуществляется с помощью F-критерия Фишера.
Если
,
то гипотеза об адекватности уравнения
не отвергается.
определяется по таблице 7 для уровня
значимости
и чисел степеней свободы полной дисперсии
и остаточной дисперсии
.
Оценка точности корреляционной связи
Теснота связи оценивается с помощью коэффициента парной корреляции между факторами X и параметром Y.
Таблица 3.7
Значение квантилей F-распределения
Число степеней свободы |
Число степеней свободы |
||||||
5 |
6 |
8 |
10 |
12 |
15 |
20 |
|
3 |
0,014 |
8,941 |
8,845 |
8,786 |
8,745 |
8,703 |
8,660 |
4 |
6,256 |
6,163 |
6,041 |
5,964 |
5,912 |
5,858 |
5,803 |
5 |
5,050 |
4,950 |
4,819 |
4,735 |
4,678 |
4,619 |
4,558 |
6 |
4,378 |
4,284 |
4,147 |
4,060 |
4,000 |
3,938 |
3,874 |
7 |
3,972 |
3,866 |
3,726 |
3,637 |
3,575 |
3,511 |
3,445 |
8 |
3,688 |
3,581 |
3,438 |
3,347 |
3,284 |
3,218 |
3,150 |
9 |
3,482 |
3,374 |
3,230 |
3,137 |
3,073 |
3,006 |
2,937 |
10 |
3,326 |
3,217 |
3,072 |
2,978 |
2,913 |
2,815 |
2,774 |
12 |
3,105 |
2,996 |
2,849 |
2,753 |
2,687 |
2,617 |
2,544 |
14 |
2,958 |
2,848 |
2,848 |
2,602 |
2,534 |
2,463 |
2,388 |
16 |
2,852 |
2,741 |
2,741 |
2,494 |
2,425 |
2,352 |
2,276 |
18 |
2,773 |
2,661 |
2,661 |
2,412 |
2,342 |
2,269 |
2,191 |
Оценка точности выборочного коэффициента парной корреляции
где
- средне квадратичное отклонение
выборочного коэффициента парной
корреляции.
Оценка статистической значимости выборочного коэффициента парной корреляции
Для проверки гипотезы статической значимости выборочного коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента
Если
,
то гипотеза о значимости выборочного
коэффициента парной корреляции не
отвергается. Критическое значение
t-статически
определяется по таблице 6 для уровня
значимости
и числа степеней свободы
.
Вычисление коэффициента детерминации
Этот коэффициент показывает долю изменчивости параметр Y, которая определяется изменением фактора X. Считается, что уравнение регрессии достаточно полно описывает изучаемый объект, если коэффициент детерминации Д = 0,5…0,6.
Заключение по исследованию дефектов и характера износа гильз цилиндров двигателя.
Заключение о характере износа гильз цилиндров двигателя с указанием способа ремонта должно быть основано:
На результаты внешнего осмотра,
На результаты измерений и анализе построенных зависимостей износа по длине гильзы,
Данных полученных исследования связи между износом гильз цилиндров и их наработкой.