Ответы, указания, решения

11 Класс

1. Доказательство. Составим турнирную таблицу игр команд «Зубило», «Дробило», «Молотило» между собой:

		Результат игры c командой
		«Зубило»	«Дробило»	«Молотило»
Команды	«Зубило»		a:b	c:d
	«Дробило»	b:a		e:f
	«Молотило»	d:c	f:e

Получаем:

a+c=60,

a+f=80,

d+f=с+е.

Из первых двух равенств находим

f–с=20,

из третьего получаем

е=d+f–с=d+20,

е+(f–с)=d+20+20.

Следовательно,

е+f40.

Значит, в матче «Дробило»-«Молотило» было забито не менее 40 голов.

2. Ответ: да.

Решение. Известно, что при целых значениях х произведение (х–1)х(х+1) кратно трем, как произведение трех последовательных целых чисел при любом целом х. Поэтому произведение (х–1)х(х+1) всегда принимает целые значения. Значит, при многочлен удовлетворяет условию задачи.

3. Доказательство. Из первого условия следует, что

g(х+6)=f(x+6)–х–6f(x+3)+3–х–6f(x)+6–х–6f(x)–х=g(х).

Из второго условия следует:

g(х+6)=f(x+6)–х–6f(x+4)+2–х–6f(x+2)+4–х–6f(x)+6–х–6f(x)–х=g(х).

Следовательно, при любом действительном х имеет место равенство

g(х+6)=g(х),

т.е. функция g(х) – периодическая.

4. Ответ: 19.

Указание. Сопоставляя формулы для вычисления объемов цилиндра и конуса и учитывая, что тела имеют общее основание, можно сделать вывод: высота конуса в 3 раза больше высоты цилиндра. Значит, объем, «выступающего» над цилиндром конуса составляет объема конуса. Тогда объемы относятся как 8:27, тогда часть конуса, находящаяся внутри цилиндра, имеет объем 19.

5. Решение. Для удобства раскрасим кнопки № 2, № 3, № 4, № 5, № 6, № 7, № 8, № 9 и № 10 в три цвета; например, № 2, № 3, № 4 – красные, № 5, № 6, № 7 – синие, № 8, № 9 и № 10 – зеленые. Тогда в группе одного цвета ровно различные три пары кнопок, всего – 9 пар. Тогда можно выполнить ровно 9 проверок, нажимая одну цветную пару и кнопку № 1. По результатам этих проверок выяснится, является ли кнопка № 1 действующей. Действительно, поскольку имеется ровно 5 действующих кнопок, то по принципу Дирихле найдутся две недействующие кнопки одного цвета. Следовательно, если хотя бы один раз лампочка не загорится, то кнопка № 1 недействующая. Если же кнопка № 1 действующая, то лампочка будет загораться во всех 9 проверках.