- •II. Векторная алгебра
- •Имеют равные модули
- •Линейные операции над векторами.
- •Действия над векторами, заданными проекциями.
- •Лекция № 7 Скалярное произведение двух векторов.
- •Свойства скалярного произведения
- •Приложения скалярного произведения
- •Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором .
- •Лекция №8. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов.
- •Свойства смешанного произведения
Лекция №8. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. Векторное произведение двух векторов.
Определение: Три некомпланарных вектора , и , приведенные к общему началу, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (Рис. 1) и левую, если по часовой (Рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2 |
Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор (Рис. 1), который
имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , где - угол между векторами и ;
перпендикулярен векторам и , т. е. ;
направлен так, чтобы тройка векторов была правой.
Векторное произведение обозначается или .
Следует запомнить, что в результате векторного произведения двух векторов получается вектор.
Свойства векторного произведения
При перестановке множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль .
Сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю .
Распределительное свойство .
Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. , если , либо , либо . В частности .
Выражение векторного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены:
или .
Полученную формулу можно записать еще короче , так как правая часть предыдущего равенства соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Приложения векторного произведения
Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
Согласно определению векторного произведения векторов и : т. е. площадь параллелограмма .
Рис. 3
Площадь треугольника - .
Определения момента силы относительно точки
Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а в точке B (Рис. 4) приложена сила . При этом возникает вращающий момент, численно равный - площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Рис. 4
Вектор - представляет собой момент силы относительно точки А.
Задачи
Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение .
Решение: Используя свойства векторного произведения (формулы 4, 5), получаем ,
т. к. , , , .
Задача 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, образующие угол .
Решение:
, т. к. , ,
Задача 3. Найти векторное произведение векторов и .
Решение: По формуле (7) имеем
Задача 4. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого известны: , , .
Решение:
Р ассмотрим векторы и . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах и .
, .
Найдем проекции векторов и на координатные оси:
,
По формулам (7) для векторного произведения векторов найдем, что